小结教案2

第4课时

基本不等式

1．了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

[对应学生用书P100]

【梳理自测】

一、基本不等式

a＋b1．“a＞0且b＞0”是“≥ab”成立的(

) 2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(

) A．a＋b＞2ab B．a＋b≥2ab

112baC.＋＞ D.＋≥2 22ababab13．(教材改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为(

) xA．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞)

C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)

答案：1.A

2.D

3.C

◆以上题目主要考查了以下内容：

基本不等式：ab≤a＋b

2(1)基本不等式成立的条件：a＞0、b＞0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

算术平均数与几何平均数

a＋b(3)设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可2叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

几个重要的不等式

(4)a＋b≥2ab(a，b∈R)；

(5)＋≥2(a，b同号) 22baaba＋b(a，b∈R)；

(6)ab≤22(7)a2＋b2a＋b22≥(a，b∈R)．

2二、利用基本不等式求最值

1．已知m＞0，n＞0，且mn＝81，则m＋n的最小值为(

) A．18 B．36 C．81 D．243 2．已知x＋3y＝2(x，y为正实数)，则xy的最大值为________．

43．若x＞1，则x＋的最小值为________．

x－11答案：1.A

2.

3.5 3◆以上题目主要考查了以下内容：

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p .(简记：积定和最小) p(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积4最大) 【指点迷津】

1．公式的两种应用

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a＋b≥2ab逆22a＋b2a＋ba＋b用就是ab≤；≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤(a，b＞0)等．还要注意222222“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

2．三个注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

[对应学生用书P101]

考向一

利用基本不等式求最值

z22

(1)(2013·高考山东卷)设正实数x，y，z满足x－3xy＋4y－z＝0，则当xy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(

) A．0

B.

C．2 D.

(2)(2014·洛阳市高三统考)在△ABC中，D为BC边的中点，AD＝1，点P在线段AD→→→上，则PA·(PB＋PC)的最小值为(

) 9498A．－1 B．1 C. D．－

z【审题视点】

(1)利用基本不等式求出的最小值及取得最小值时，x与y的关系，xy再利用二次函数性质求结论．

(2)利用向量模的意义转化为基本不等式．

【典例精讲】

(1)含三个参数x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．

z＝x－3xy＋4y(x，y，z∈R)，

22＋1212zx2－3xy＋4y2x4y∴＝＝＋－3≥2xyxyyxyxx4y·－3＝1.

yxx4y当且仅当＝，即x＝2y时“＝”成立，此时

z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，

∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y＝－2y＋4y

＝－2(y－1)＋2.

∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2.

→→|PA|＋|PD|2(2)依题意得，PA·(PB＋PC)＝2PA·PD＝－2|PA|·|PD|≥－2()＝－2→→→→→→→222

→2|AD|111→→→→→＝－，当且仅当|PA|＝|PD|＝时取等号，因此PA·(PB＋PC)的最小值是－，选D.

2222【答案】

(1)C (2)D 【类题通法】

(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．

(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．

(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．

→→→1．(2014·山东青岛二模)设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)，a＞0，b12＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是________．

ab→→→→→→解析：AB＝OB－OA＝(a－1，1)，AC＝OC－OA＝(－b－1，2)，

→→∵A，B，C三点共线，∴AB与AC共线，

∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.

∵a＞0，b＞0，

1212b4a∴＋＝＋(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，

abababb4a当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．

ab答案：8 考向二

基本不等式的实际应用

(2014·河北省普通高中质检)如图，有一块边长为1(单位：百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan

θ＝t. (1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；

(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为多少？

【审题视点】

利用Rt△DAQ和Rt△PAB，分别求解PB和DQ，在Rt△PCQ中求PQ.把面积表示为t的函数，求其最值．

【典例精讲】

(1)由tan

θ＝∵∠DAQ＝45°－θ，

∴DQ＝tan(45°－θ)＝1－t，

1＋tBP＝t，得BP＝t(0≤t≤1)，可得CP＝1－t.

AB

1－t2tCQ＝1－＝，

1＋t1＋t∴PQ＝CP＋CQ＝1＋t＝，

1＋t∴△CPQ的周长l＝CP＋PQ＋CQ

2t1＋t＝1－t＋＋＝2为定值．

1＋t1＋t(2)∵S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ

t11－t＝1－－×

221＋t12＝2－(t＋1＋)≤2－2，

2t＋12当且仅当t＋1＝，即t＝2－1时等号成立．

t＋1∴探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为(2－2)平方百米．

【类题通法】

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；

(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；

(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；

(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．

2．(2012·高考江苏卷改编)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－122(1＋k)x(k＞0)表示的曲线上，2022222t22（1－t）＋（）

1＋t其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．求炮的最大射程．

122解析：令y＝0，得kx－(1＋k)x＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，

20故x＝20k2020≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．

2＝1＋k12k＋k所以炮的最大射程为10千米．

[对应学生用书P102]

忽视基本不等式成立条件致误

1|a|

设a＋b＝2，b＞0，则＋的最小值为________．

2|a|b【正解】

分a＞0和a＜0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．

1|a|1aa＋ba当a＞0时，＋＝＋＝＋

2|a|b2ab4ab1ba5＝＋＋≥；

44ab41|a|1－aa＋b－a当a＜0时，＋＝＋＝＋

2|a|b－2ab－4ab－a1b13＋＝－＋≥－＋1＝.

b4－4a441|a|3综上所述，＋的最小值是.

2|a|b43【答案】

4【易错点】

①直接利用基本不等式，把b当做定值：21为最小值，忽视乘积为定值致误．

2ba＋b|a|ab|a|1②变形不等价.＋＝＋＋≥＋

4|a|b4|a|4|a|b42b|a|5×＝，忽视a＜0致误．

4|a|b41|a|＋≥22|a|b1|a|×＝2|a|b【警示】

1.利用基本不等式求最值需关注以下三个方面：①各数(式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立这三个条件缺一不可，为便于记忆简述为：“一正、二定、三相等”．

2．对于不符合条件的式，要经过“变正号”、“拆分项”、“配凑因式或系数”等方法，使之符合三个条件．

1．(2013·高考福建卷)若2＋2＝1，则x＋y的取值范围是(

) xyA．[0，2]

B．[－2，0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：选D.利用基本不等式转化为关于x＋y的不等式，求解不等式即可．

∵2＋2≥22∴22∴2x＋yx＋yxyx＋y，2＋2＝1，

xy≤1，

1－2≤＝2，

4∴x＋y≤－2，

即(x＋y)∈(－∞，－2]．

2．(2012·高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(

) A．a＜v＜ab B．v＝ab C.ab＜v＜a＋ba＋b D．v＝

22解析：选A.设甲乙两地的距离为s，

则v＝2＝.

ss11＋＋abab2s112由于a＜b，∴＋＜，∴v＞a，

aba11又＋＞2ab1，∴v＜ab.

ab故a＜v＜ab，选A. 3．(2012·高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(

) A. B.

C．5 D．6 31解析：选C.由x＋3y＝5xy，得＋＝5(x＞0，y＞0)，

xy131则3x＋4y＝(3x＋4y)＋

5xy12y3x11＋≥13＋2＝13＋xy551＝×(13＋12)＝5，

512y3x·

xy245285

12y3x当且仅当＝，即x＝2y时，“＝”成立．

xyx＝2y，此时，由解得1故选C. x＋3y＝5xy，y＝.2a4．(2013·高考四川卷)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，x则a＝________．

解析：借助基本不等式求最值的条件求解．

af(x)＝4x＋≥2xaaa4x·＝4a(x＞0，a＞0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成xx2a＝3，即a＝36.

2x＝1，立，此时f(x)取得最小值4a.又由已知x＝3时，f(x)min＝4a，∴答案：36