复习参考题教学设计第一课时

《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计

华中师大一附中

黄倩

【教学内容解析】

本节课研究的是《普通高中课程标准实验教科书

数学

必修5》（人教A版）第三章第三节第一课时《二元一次不等式（组）与平面区域》。学生在初中已经学习过一元一次不等式的解法以及解集的数轴表示。本章第二节又学习了一元二次不等式的解法和解集的几何意义。然而在实际生活中，除了这两种不等式模型外，还有二元一次不等式模型需要我们研究。在教材整个第三节《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》中，我们最终的目的是为了研究在一组线性约束条件（本节主要是用二元一次不等式表示的）下求线性目标函数的最值问题。这种最值问题本质上是求有关二元变量的最值问题。解决这种二元变量最值问题的方法一方面可以从代数角度利用不等式性质来研究；另一方面可以从几何角度利用数形结合思想来研究。

而在整个第三节中，教材主要是想通过第二种方法来研究最值问题，因此主要探讨了两个方面的问题：一是能够正确的画出给定的二元一次不等式（组）表示的平面区域（即线性约束条件下的可行域）；二是在画出了可行域后，结合目标函数的几何意义来求最值。本节课是教材第三节内容的第一节课，主要就是完成第一个方面的问题。综合以上分析，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性。

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：能够正确的画出给定的二元一次不等式（组）表示的平面区域。

【学生学情分析】

本节课的授课对象是湖北省武昌实验中学理科创新班的学生，学生的基础很好，能力较强。除了之前研究过一元不等式的解集外，学生也学习了《普通高中课程标准实验教科书

数学

必修2》（人教A版）第三章《直线与方程》的有关内容，比较熟练的掌握了直线的倾斜角、斜率等概念以及直线方程的几种形式。这些都是我们在平面直角坐标系中研究二元一次不等式表示平面区域的基础。

教学难点：在确定二元一次不等式表示直线的某一侧区域后，进一步确定这一不等式到底表示直线哪一侧的平面区域以及为什么是这一侧的平面区域

【教学目标设置】

1.

通过本节课的探究，使学生学会判断二元一次不等式表示直线的哪一侧区域，进而画出二元一次不等式表示的平面区域以及二元一次不等式组表示的平面区域

2.

将具体的实际问题抽象成数学问题，逐步培养学生“数学建模”的思想；从几何角度研究二元一次不等式（组）的解集表示的平面区域，再从代数角度来证明这两个点集是完全相同的集合。让学生亲历这种“由形研究数”、再“由数研究形”的方法；从一个具体的二元一次不等式表示的平面区域的研究得到的结论，并将结论推广到一般的二元一次不等式表示的平面区域，使学生了解这种“由特殊到一般”的数学研究方法。

3.

通过小组讨论、教师演示几何画板，学生观察点的运动情况，师生共同交流，使学生感受到探索的乐趣与成功的喜悦。同时又不满足几何画板演示得出的结论，从两个方面来证明二元一次不等式表示的点集与直线的某一侧区域表示的点集是相同的集合。学生体会到数学的严谨，养成

批判、质疑的科学精神。

4.

通过引导学生将实际生活中的问题抽象成数学中的问题，学生亲自画图、观看几何画板动画的演示，并用代数方法严格证明不等式表示的平面区域的相关结论。在这个过程中，逐步提升学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心素养。

【教学策略分析】

本节课首先从一个实际问题出发，把一个具有不等关系的生活问题抽象成数学模型问题，体现了数学问题是客观存在的，是从实际问题中产生和发展的。通过一些基本概念的讲解发现，研究这个实际问题就是研究二元一次不等式组的解集的问题。为后面研究二元一次不等式组的解集埋下伏笔。

由于二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，决定了问题的研究应从二元一次不等式入手。而学生对一般形式的的二元一次不等式AxByC0（或AxByC0）是非常陌生的。所以引导学生从一个具体的二元一次不等式开始研究。

在研究某一个具体的二元一次不等式xy20的解集问题时，我们可以类比一个具体的一元一次不等式x30解集问题的研究方法。

（-3,+） 用代数方法利用不等式的基本性质求出x30的解集，并且我们知道不等式解集的端点值3就是其对应方程x30的实数解。另一方面可以采取几何方式在数轴上表示不等式的解集，解集构成数轴上的一个区间。并且方程的解3（在数轴上表示一个点）把数轴上所有的点分成了三类

对于二元一次不等式xy20的解集，我们也可以先尝试用代数方法来解，发现是不容易把所有的解都表示出来的。类比一元一次不等式的研究，我们可以从几何角度来研究它，也就是在平面直角坐标系中把解集表示的图形画出来。学生小组讨论，显然从二元一次方程xy20入手。学生应该容易想到直线xy20将平面内的点也分成了三类。猜想不等式xy20可能会表示直线上方的平面区域。教师通过提示学生可找一些特殊点验证、几何画板演示、学生证明等方式，最终得到不等式xy20表示直线上方的平面区域。

将具体的二元一次不等式表示的平面区域研究清楚后，就可以把结论推广到一般的二元一次不等式。

由于本节课内容上难度不大，主要的难点就是理解二元一次不等式究竟表示所对应直线的哪一侧区域以及为什么表示这个区域。这个难点主要是通过学生讨论、几何画板展示、严格的代数证明等方式突破的。

【教学过程】

1.问题引入：

环节1 例：一家银行的信贷部计划年初投入2500万元用于企业和个人贷款，希望这笔

资金至少可带来3万元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益

10%，那么信贷部应该如何分配资金呢？请同学们用恰当的不等式模型来表示问题中的不等关系

【设计意图】除了我们已经研究过的一元不等式模型外，常见的还有二元一次不等式模型，让学生体验从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程。也体现出数学问题是客观存在的，是从实际问题中产生和发展的。

环节2 教师讲解二元一次不等式、二元一次不等式组、二元一次不等式（组）的解、二元一次不等式（组）的解集的概念。

2.类比探究：

环节1 回顾

回顾初中学过的一元一次不等式x30的解集及其几何表示

【设计意图】回顾初中学过的一元一次方程、一元一次不等式的解集的几何表示，为研究二元一次不等式的解集提供思路。

环节2 类比

类比一元一次不等式解集的研究，讨论不等式xy20的解集表示的图形。 整个讨论过程

类比结论——归纳猜想——画板展示——代数证明

几何画板演示过程：

（1）

点A分别在三个区域运动时， （2）坐标满足xy20的点在运

xy2的符号变化情况 动时，形成的区域动画

代数证明：二元一次不等式xy20表示直线的左下方区域

【设计意图】要研究二元一次不等式组的解集，首先要从二元一次不等式的解集入手。这个解集由于没办法用代数方法完全解出来，所以类比一元一次不等式解集的数轴表示，先来研究二元一次不等式的解集表示的图形，让学生小组讨论猜一猜究竟是什么图形，再用几何画板验证一下，最后学生讨论怎样来进行详细的代数证明。逐步培养学生的几何直观、逻辑推理等核心素养。

环节3 推广

推广到一般性结论：

判断二元一次不等式表示平面区域的方法：

（1）

特点法

对于直线AxByC0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入

AxByC，所得的符号都相同，因此只需在直线AxByC0

的某一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号

就可以判定AxByC0表示直线AxByC0哪一侧的平面

区域。

C0时，常取(0,0)作为特殊点；C0时，常取(1,0),(0,1)作为特殊点

结论：“直线定界、特殊点定域”

(2) 比较法：

直线ykxb把平面分成两个区域

ykxb表示直线上方的平面区域；ykxb表示直线下方的平面区域

直线xtym把平面分成两个区域

xtym表示直线上方的平面区域；xtym表示直线下方的平面区域

结论：“直线定界、比较法定域”

【设计意图】通过把研究一个具体的二元一次不等式表示平面区域的方法推广

到一般的二元一次不等式。除将结论一般化外，还将这种由特殊到一般的研

究方法渗透给学生，让学生体会这种重要的研究数学问题的方法。 环节4 练习

说一说这些不等式表示所对应直线的哪一侧区域

1.y3

2.2xy20

3. mx3y20

4. 3xmy20

3.方法应用：

例1：画出不等式x4y4表示的平面区域

【设计意图】熟练并规范画图过程（先直线定界、再由特点法或比较法定域）

x3y60例2：用平面区域表示不等式组

的解集 xy20【设计意图】本节课的主要目标就是要画出二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域。

4. 拓展提升：

2xy40 例3画出不等式组2xy40表示的平面区域

y0

思考：在例3条件下，求z2xy的最大值

【设计意图】教材整个第三节最终目的就是研究线性目标函数的最值问题。

5. 学生总结：

6. 布置作业：课本86页练习题1,2,3,4；93页A组题1,2