三 反证法与放缩法教案板书设计

放缩法教学设计

目标：让学生掌握基本的放缩技巧

难点：放缩的幅度掌握及其思路

过程：

一、放缩法原理

为了证明不等式AB，我们可以找一个或多个中间变量C作比较，即若能判定AC,CB同时成立，那么AB显然正确。所谓“放”即把A放大到C,再把C放大到B；反之，由B缩小经过C而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。

二、常见的放缩法技巧

１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩

2、糖水不等式放缩：bbm(m0,ab). aam3、添（减）项放缩

4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

5、逐项放大或缩小：

1112n12

nn(n1)

2n(n1)nn(n1)1111

22(2n3)(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)11

(2n1)22n(2n2)（一） 利用重要不等式放缩

1．

均值不等式法

n(n1)(n1)2例1

设Sn1223n(n1).求证Sn.

22解析

此数列的通项为akk(k1),k1,2,,n.

n1kk11，nkk(k1)kkSn(k)，

222k1k12即n(n1)Snn(n1)n(n1).

2222

练习1：设a、b、c是三角形的边长，求证

练习2. 求证CCCCn2n121n2n3nnnn12abc≥3 bcacababc(n1,nN). 123n简析

不等式左边CnCnCnCn2n112222n1

nn12222n1=n2，故原结论成立.

例2

求证(11)(11)(11)(11)2n1.

352n1简析

本题可以利用的有用结论主要有：

法1

利用假分数的一个性质bbm(ba0,m0)可得

aam2462n3572n11352n1

(2n1)

1352n12462n2462n(2462n)22n1即(11)(11)(11)(11)2n1.

352n11352n1

法2

利用贝努利不等式(1x)n1nx(nN,n2,x1,x0)的一个特例121(此处1)得

(1)12n2,x2k12k12k1

练习3：已知an2n1(nN*).求证：

an1a1a2...n(nN*).

23a2a3an111)a.(I)用数学归纳法证明an2(n2)；nn2n2n（05年辽宁卷第(II)对ln(1x)x对x0都成立，证明ane2（无理数e2.71828）例3 已知a11,an1(122题）

解析 (II)结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1x)x（x0）的结构特征，可得放缩思路：an1(11111)anlnan1ln(12n)lnan

2nnn2nn21111lnan2n。于是lnan1lnan2n，

nn2nn2

1n11()n1n1111112(lnalna)()lnalna122.i1in11nn2ni2i2ii1i1122即lnanlna12ane.

注：题目所给条件ln(1x)x（x0）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论2nn(n1)(n2)来放缩：

111an1(1)anan11(1)(an1)

n(n1)n(n1)n(n1)11ln(an11)ln(an1)ln(1).n(n1)n(n1)n1n111[ln(ai11)ln(ai1)]ln(an1)ln(a21)11，

i(i1)ni2i2即ln(an1)1ln3an3e1e2.

练习4：已知数列an，a11,ann12

1122231，(n2,nN*)

2(n1)(11)4(nN)

anan1n211求证：(1)．(2) (nN*)(1)(1)a1a2an1(n1)2