三 反证法与放缩法国家优质课一等奖

(建议用时：50分钟) 111.(2015·湖南卷)设a＞0，b＞0，且a＋b＝a＋b.证明：

(1)a＋b≥2；

(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立. 11a＋b证明

由a＋b＝a＋b＝ab，a＞0，b＞0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2. (2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；

同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾.故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立. 2.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围. 解

－2x＋5，x≤2，(1)当a＝－3时，f(x)＝1，2

2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2

当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4. 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}. (2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔

4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围是[－3，0]. 13.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：a＋b＋c＜a＋11b＋c. 证明

法一

∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，

∴a＋b＋c＝111b＋c＜a＋b＋c. 11法二

∵a＋b≥211b＋c≥21bc＋1ca＋111111＋＋＋1bccaab111ab＜2＋2＋2＝a＋b＋c.∴a＋1ab＝2c；

1ac＝2b. 111＝2a；bcc＋a≥2111∴以上三式相加，得a＋b＋c≥

a＋b＋c. 111又∵a，b，c互不相等，∴a＋b＋c＞a＋b＋c. 法三

∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，

bc＋caca＋abab＋bc111∴a＋b＋c＝bc＋ca＋ab＝2＋2＋2＞abc2＋a2bc＋ab2c＝111a＋b＋c.∴a＋b＋c＜a＋b＋c. 4.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：

11111(1)a＋b＋ab≥8；(2)1＋a1＋b≥9. 证明

(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，

11111a＋b11∴a＋b＋ab＝a＋b＋ab＝2a＋b

a＋ba＋bba＋＋4≥4 ＝2＋b＝2ababaa×b＋4＝8. 1111∴a＋b＋ab≥8(当且仅当a＝b＝2时等号成立). 11111(2)∵1＋a1＋b＝＋＋＋1，

abab11111由(1)知a＋b＋ab≥8.∴1＋a1＋b≥9. 5.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 解

(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.

当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；

2当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得3＜x＜1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2. 所以f(x)＞12的解集为x|3＜x＜2. x－1－2a，x＜－1，(2)由题设可得，f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a，

－x＋1＋2a，x＞a.2a－1所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，0，

322B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为3(a＋1)2.由题设得3(a＋1)2＞6，

故a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞). 6.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]. (1)求m的值；

111(2)若a，b，c大于0，且a＋2b＋3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. (1)解

∵f(x＋2)＝m－|x|，

∴f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}. 又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1. 111(2)证明

由(1)知a＋2b＋3c＝1，且a，b，c大于0，

111a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)a＋2b＋3c

2ba3ca3c2b＝3＋a＋2b＋a＋3c＋2b＋3c

≥3＋22ab2ab＋23caa·3c＋23c2b2b·3c＝9. 1当且仅当a＝2b＝3c＝3时，等号成立.因此a＋2b＋3c≥9. 7.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围. 解

－2x，x＜－1，(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，f(x)＝2，－1≤x≤1，

2x，x＞1.作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象.

由图象可知，不等式f(x)≥3(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，

不满足题设条件；

33x≤－，或x≥的解集为x22. －2x＋a＋1，x≤a，若a＜1，f(x)＝1－a，a＜x＜1，

2x－（a＋1），x≥1，f(x)的最小值为1－a；

－2x＋a＋1，x≤1，若a＞1，f(x)＝a－1，1＜x＜a，f(x)的最小值为a－1. 2x－（a＋1），x≥a，∴对于∀x∈R，f(x)≥2，∴当a＜1时，1－a≥2，

∴a≤－1，当a＞1时，a－1≥2，∴a≥3. ∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞). 8.设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N. (1)求M；

1(2)当x∈(M∩N)时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤4. 3x－3，x∈[1，＋∞），(1)解

f(x)＝

1－x，x∈（－∞，1）44当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤3，故1≤x≤3；

当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1. 4所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤3}. 12(2)证明

由g(x)＝16x－8x＋1≤4得16x－4≤4，

213313解得－4≤x≤4.因此N＝x|－4≤x≤4，故M∩N＝x|0≤x≤4. 当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是

1121xf(x)＋x·[f(x)]＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝4－x－2≤4. 22