小结特级教师教学实录

基本不等式教学设计

本教学设计共分教学内容解析、教学目标设置、学生学情分析、教学策略分析、教学过程等五部分。

一、教学内容解析

本节课是人教A版必修5第三章第四节的内容，第一课时侧重于探索基本不等式及其证明过程，并了解基本不等式简单的应用（最值问题）。

从知识应用的角度来看，它是学生系统学习了不等关系以及不等式性质的基础之上展开的，同时也为后续最值以及证明问题奠定了基础，因此基本不等式在知识体系上具有承上启下的内容。

从思想方法的角度来看，基本不等式是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个重要模型，为解决最值提供了一个重要根据。在教学的过程中蕴含了数形结合、转化等数学思想，是培养学生直观想象、数学抽象和逻辑推理等素养的重要载体。

笔者通过演绎推理、证明探究、概念剖析、几何解释及实际应用等五个不同的角度引导学生认识基本不等式。其中基本不等式的证明是从代数以及几何两个方面展开的，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生能充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

因此，本节课的教学重点为感受基本不等式概念的生成及应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点为基本不等式知识的合理生成。

二、教学目标设置

根据《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）要求，同时考虑到学生的认知发展规律，笔者将本节课的教学目标确定如下：

（1）能从具体的几何图形中，抽象归纳出重要不等式（数学抽象）；

（2）从重要不等式出发，注重知识的生成，通过演绎推理获得均值不等式链（逻辑推理）；

（3）在探索基本不等式的证明过程中，体会基本不等式的本质及数形结合的数学思想方法，发展学生的数学思维能力（逻辑推理、数学运算、直观想象）；

（4）会运用基本不等式解决简单的最值问题，体会数学的应用价值（数学建模、数据分析、逻辑推理、数学运算）；

三、学情分析

授课对象为宁波市北仑中学高一（2）班学生，他们的数学基础扎实，数学思维活跃，对数学充满兴趣，善于思考却羞于表达。因此在上课的过程中，要时刻注意学生的学习状态，调动学生的积极性。

从知识能力的角度看，学生已掌握了不等式的基础性质和用比较法证明不等式的能力，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等关系，也具备了平面几何的基本知识。

从思维特点的角度看，高中学生已初步具备了图形分析、抽象概括以及一定程度上的交流及沟通能力，但仍需进一步加强。

四、教学策略分析

本课依据学生、教材的实际情况，以数学核心素养为理论基础，重视学生关键能力的培养。在充分考虑到学科知识的科学化、系统化的前提下，对教材进行适当调整重组，根据高中生现有的认知规律和心理特点，实行“教师为主导，学生为主体，探究为明线，思维为暗线”的教学模式。

为了能很好地展示几何图形，体会基本不等式的几何背景，教学中需要用具体的图形帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想。同时，借助几何画板加强几何直观，同时演示动画帮助学生验证基本不等式取等号的情况，加深学生对基本不等式的认识，增强教学效果。

本次课通过五个教学活动，强调知识的过程和生成，在教师的引导下，帮助学生从多个层面和不同角度认识基本不等式，并理解其几何背景，在学生原有的认知基础上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

五、教学过程

1. 问题引领

探求新知

课前让学生阅读国际数学家大会的背景资料，从而引出大会会标的问题。如图1所示，这是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

图1

图2

问题1：“弦图”中含有哪些几何图形？试从面积的角度思考，“弦图”中存在哪些相等

关系？

问题的前部分由学生集合回答，直接观察图2，利用图形的对称性，让学生至少归纳出以下两点：四个直角三角形面积相等；大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形。

问题2：东汉末年（约公元222年）赵爽为《周髀算经》作注：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”并给出了勾股定理的证明方式，你能否通过刚才的相等关系证明勾股定理？

学生通过上述的等量关系观察并归纳出S大正方形4S直角三角形S小正方形，通过算“二次”的思想，显化得到结论：c421ab(ab)2a2b2，即勾股定理。

2【设计意图】介绍国际数学家大会及“弦图”的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感。利用“弦图”证明勾股定理的过程，一方面，展现了古代数学家的智慧，让学生对“弦图”的认识清晰、完整；另一方面，将直观的面积关系转化为蕴含的数值相等关系，为提出“弦图”中的不等关系做铺垫，体会相等关系与不等关系的辩证统一。

说明：课前做了调查，同学们对于弦图的概念以及勾股定理的证明已经基本遗忘，因此本课开头重新回忆了勾股定理的证明过程。

问题3：在“弦图”中，以弦c为边长的正方形的面积与四个红色直角三角形的面积和有怎样的不等关系？

教师利用几何画板改变“弦图”中两直角边的大小，让学生感受“弦图”在运动过程中蕴含的不等关系，让学生进一步归纳出S大正方形4S直角三角形，进而得到ab2ab的结论，教师特别需要提醒学生等号成立的条件。

【设计意图】从相等关系出发，引出不等关系，这是一种非常重要的数学思想，两者本身就是辩证统一的。通过建构数学模型，并将模型用文字语言和数学符号语言表达，结合几何画板，提升学生的直观想象、数学建模等数学核心素养。

2. 多方探究

构建主题

探究1

上述关系式对任意正实数是成立的，那么对于任意实数a,b，上式都成立吗？证明自己的结论。

由学生自主探究，完成证明。学生自然地联想到了用作差法进行比较，通过等价变形将其转化为任意实数的平方大于等于0，并强调等号成立的条件，说明“当且仅当”的含义。

22

总结：从“弦图”中的面积关系出发，我们逐步得到一个任意实数的大于等于0的等价22条件，即对任意实数a,b，都有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立（这个不等式也称之为重要不等式）。

考虑到a,b可能为负号，那么上述重要不等式的对偶形式ab2ab也需考虑，即22对于任意实数a,b，都有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立，这样定理才是完22备的。

【设计意图】探究1给学生提供思维发展的空间，让学生对知识的直观感知上升到理想证明，即体现了数学知识发展的过程性及严谨性，又巩固了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫。在此过程中给学生提供了一种研究思路，即根据图形中的相等关系或不等关系可以获得实数间的一些重要结论，渗透数形结合思想。

探究2

结合不等式的性质，试从重要不等式ab2ab出发探寻更多的不等关系？

考虑到学生的实际情况，笔者利用不等式同向可加性的性质作了一个示范，不妨在不等式两边同时加上ab，可得：2a2b2(ab)2，进一步加强条件，若a0,b0，22两边开方可得2abab。

2222为了引出主题，让研究的方向更有针对性，介绍算术平均数ab以及几何平均数ab2的概念，并解释算术命名的由来。由学生小组讨论获得知识的生成树，如下图所示（经笔者整理）：

由此可以得到高中的一个重要的均值不等式链，并介绍调和平均数以及平方平均数：

aba2b2ab

1122ab2

学生的其它想法还有：

112b22b

22

a

ababa总结：通常我们把abab称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式。

2【设计意图】苏霍姆林斯基指出：在人的心灵深处，有一种根深蒂固的需要，希望自己是一个发现者、研究者和探索者，而在孩子的精神世界中，这种需要更强烈。所以在数学课堂中，我们要善于引导学生去合作、交流、发现。通过这样的探究活动，激发学生的思维，使其了解知识之间的联系，让知识的生成变得自然和谐，认识到它们是对同一个事实的两种不同描述，其本质是一样的。同时，也能促使学生养成创新的思维意识。

说明：此处推导过程中并非一定要加强，只是为了形式都能统一故对a,b作了限定，防止学生产生不必要的困扰，以后的课程中会加以说明。

3. 多维分析

揭示本质

角度1——分析结构

让学生从构成中发现基本不等式的基本结构：

①前提：a0,b0；②主体：ab③条件：“当且仅当”ab时等号成立

【设计意图】通过分析基本不等式的基本结构，可以加深学生对基本不等式的理解，让学生意识到使用基本不等式所必备的条件，防止滥用公式导致出错。

角度2——探索本质

让学生观察不等式左右两边的组成成分，让学生分别从平均数的角度和数列角度对基本不等式进行解读，即：

平均数角度：两个正数的算术平均数不小于几何平均数；

数列角度：两个正数的等差中项不小于等比中项（绝对值）；

再进一步对基本不等式进行解读，其实质是在研究：两个正数的和与积的不等关系。由此，学生会联想到基本不等式的功能是实现积与和的转换，与之前学习的“和差化积”以及“正余弦定理”遥相呼应，拓宽学生的数学视野。

【设计意图】从平均数、数列的角度对基本不等式进行解读，这样可以增强学生大脑中知识的联系与发展，进一步对本质的解读是希望学生在看待问题时能跳出现有的思维定式，培养他们抽象概括的能力，从而更好地认识基本不等式及其它能实现的功能。除了提高学生ab；

2

的数学表达能力，还可以潜移默化地加深学生对固有知识的理解，也为后续课程中的求最值和证明埋下必要的伏笔。

角度3——代数证明 问题4：请利用不等式的性质，从代数的角度对基本不等式进行证明。

学生自主证明，由学生展示不同的证明方法（比较法、综合法、分析法），并叙述过程，并让学生了解分析法和综合法的概念及证明的格式。

【设计意图】引导学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华；培养学生严谨的思维习惯，让学生感悟数学的理性精神。根据“最近发展区”理论，学生容易想到用作差法进行证明，而对分析法而言，无论逻辑关系，还是证明的格式都是学生的盲点，因此此处以教师引导示范为主。

角度4——探究形意

你能给出基本不等式abab的几何解释吗？

2探究3

如图3，点C是AB上一点，ACa，BCb，过点C作垂直AB于D，连接AD、BD，且满足ADB90。请结合这个图形，对基本不等式做出几何上的解释。

笔者先从直角三角形的角度入手，学生由数入形需要一个过程，因而将问题进行分层：

①你能在图中找出一条长度为ab的线段吗？（学生可能会说OA、OB、OD）；

2②你能在图中找出一条长度为ab的线段吗？

③你能否从几何的角度解释基本不等式？

由此可以得到：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高线。然后让学生用运动的眼光看待问题（几何画板演示，见图4），即当D点动起来时轨迹是一个圆（除了A、B两点），故可得到另外一种几何解释：在同一个圆中，半径不小于半弦长。

DabOC

AB

图3

图4 【设计意图】由于本次课是的基本不等式是通过“弦图”中面积间的不等关系抽象获得的，为了让学生对基本不等式的几何背景有更为丰富的认识，笔者设计了这个探究活动。在此过程中，通过问题引领学生运用数形结合的基本思想，强化其用运动、变化的角度思考

看待问题。

4. 应用举例

例：（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形猪圈，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

问题在教师的引导下，师生合作下完成，通过观察目标与条件，利用基本不等式发现，以下结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，“当且仅当”变量相等时取最值；

由数学的对称性，你认为利用基本不等式，我们还能解决怎样的问题？

让学生从数学对称性的角度反思上例中能取得最小值的原因，观察基本不等式的结构，尝试归纳出结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，“当且仅当”变量相等时取最值。

（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形猪圈，问这个矩形猪圈的长和宽各为多少时，猪圈的面积最大，最大面积是多少？

【设计意图】此题是基本不等式在实际问题中的简单应用，考虑到难度不大，以及本次课的重心在于基本不等式的来源及本质理解，故以引导展示为主，提出问题，引发学生思考。

5. 课堂小结

（1）本节课我们学习的主要内容是什么？

（2）在应用基本不等式时，需要注意哪几点？

（3）在本节课的学习中，运用了哪些数学思想方法？

学生发言，教师进行适当补充点评即可。教师可以适当地总结本节课所应用的数学思想与方法。

【设计意图】通过对所学内容进行小结，从数与形两个方面提炼研究基本不等式的过程，让学生对本节内容有一个系统完整的把握，培养归纳概况能力。

6. 课后探究

问题：某金店有一不准确的天平（臂长不等），你要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，分别称得a和b，然后把两次称得重量的算术平均数作为项链的重量。

你要解决的问题：请问数学知识说明店主的方案是否合理？

【设计意图】课后探究与开篇的“弦图”相呼应，通过这个探究活动，不仅让学生感受数学之趣，还让学生体会学数学的过程，其实质就是数学建模的过程。学数学是从一个问题开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由解决问题到更进一步应用的一个教育全过程，即数学化过程。数学化是数学教育的目的，只有通过“数学化”的途径来进

行数学教育，才能使学生真正获得充满着关系的、富有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。