阅读与思考 海伦和秦九韶教案2

《秦九韶算法》教学设计

宜良一中 刘仁洪

一、教材分析

本节课内容是《普通高中新课程标准实验教科书·数学》人教版必修三第一章第三节第二课时的内容，是在学生学习了算法的概念、程序框图、基本逻辑结构、基本算法语句等内容的基础上学习的，旨在让学生进一步理解算法思想、熟练程序框图的画法、练习三种逻辑结构、熟悉程序语言的编写。是继上节课学习了算法案例的案例一之后，继续学习的算法案例二，学生在学习中国古代数学中的算法案例二时,进一步体会算法的特点。学习了秦九韶算法之后，能使许多复杂的算法简单化，减少计算次数提高计算效率。

本节课的教学重点和难点

重点：秦九韶算法的特点

（理解秦九韶算法的思想）。

难点：秦九韶算法的先进性理解。

二、教学目标

1.了解秦九韶算法的计算过程，秦九韶算法的特点.并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

2模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

3.通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久，同时让学生体验民族数学成就感和荣誉感，培养学生分工合作意识，提高学习数学的热情。

三、教学策略与方法分析

1.教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则。通过从特殊到一般的数学思想，让学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力。

2.教学手段：通过各种教学媒体(计算机)调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。

四、教学过程

（一）、提出问题研探新知

５４３２[问题1]：计算多项式ｆ(ｘ)

=ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１当x = 5的值的算法：

５４３２算法：因为ｆ(ｘ)

=ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１

５４３２所以ｆ(5)=5＋5＋5＋5＋5＋１

=3125＋625＋125＋25＋5＋１= 3906 分析：此算法各用了几次乘法？几次加法？

共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。

点评:优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项式求值问题,而且计算效率不高.

有没有更高效的算法呢？

算法2：

ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１

) ＋１=5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１

)２＋１

) ＋１=5×(5×(5×(5+5 +１) +１

) +１

) +１=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１

)+１)+１) +１

分析：算法2中各用了几次乘法运算？和几次加法运算

共做了4次乘法运算，5次加法运算。

第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到

结果.

[问题2]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题? f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7

=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7

=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7

=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7

=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7

方法：变为求几个一次式的值

解法一：v0=2

v1=v0x-5=2×5-5=5

v2=v1x-4=5×5-4=21

v3=v2x+3=21×5+3=108

v4=v3x-6=108×5-6=534

v5=v4x+7=534×5+7=2677

所以,当x=5时,多项式的值是2677

这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法. 人物介绍：

秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。所著《数书九章》是一部划时代的巨著

用秦九韶算法求当x = 5时多项式

f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值.

解法二：f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7

列表

x=5

2

2 -5 10 5 -4 25 21 3 105 108 6 540 534 7 2670 2677 所以,当x=5时,多项式的值是2677.

变式训练: 用秦九韶算法求多项式

f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.（列表）

注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0. 解:原多项式先化为:f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0

f(x)=(((((2x-5)x+0)x-4)x+3)x-6)x+0

x=5

2

2 -5 10 5 0 25 25 -4 125 121 3 605 608 -6 3040 3034 0 15170 15170

（二）、知识延伸

思考:秦九韶算法适用于一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0求值问题吗？这个多项式应写成哪种形式？

一般地,对于一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:

f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.

v0an求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值

,

即v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,

……,vn=vn-1x+a0. 算法特征：

（1）将

n次多项式f(x)转化成

n个一次多项式

（2）变形：从外到内，依次提取；

求值：从内到外，逐层求值；

（3）求解n次多项式的值只需要计算n次乘法和n次加法

观察秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.

v0=an

vk=vk-1xan-k(k1,2.....n),这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现

该算法的程序框图（如下页）

（三）、课时小结

1、秦九韶算法求值的方法和步骤：

从外到内，依次转化

从内到外，逐层计算

2、评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.

达标检测

1.已知f(x)=x5-4x4+2x2-5x+1,求f(3)的值.

答案：f(3)=-77

2.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时,需要

做乘法和加法的次数分别是(

)

A.6,6

B.5,6

C.5,5

D.6,5

答案：A

课后作业：

P48习题1.3A组：2题

开始

输入n，an，x的值

v=an

i=n-1

i=i-1

v=vx+ai

输入ai

i≥0？

否

输出v

是

结束