一 比较法优质课教案推荐

新疆石河子二中

常江

数学选修4-5教案

教材：不等式证明二（比较法、综合法）

目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。

过程：

一、比较法：

1．复习：比较法，依据、步骤

比商法，依据、步骤、适用题型

2．例一、证明：y2x24x3在[2,)是增函数。

222y12x14x1322x24x2x14x12(x2x1)(x1x24)

证：设2≤x1

则y22x24x23∵x2



x1 > 0,

x1 + x2

 4 > 0

∴又∵y1 > 0，

∴y1 > y2

∴y2x二、综合法：

2y1201

y2在[2,)是增函数

4x3定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。

例二、

已知a, b, c是不全相等的正数，

求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc

证：∵b2 + c2

≥

2bc ,

a > 0 ,

∴a(b2 + c2) ≥

2abc

同理：b(c2 + a2) ≥

2abc ,

c(a2 + b2) ≥

2abc

∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥

6abc

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数

∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc

例三、

设a, b, c 

R，

1求证：a2b22(ab)

22求证：a2b2b2c2c2a22(abc)

3若a + b = 1,

求证：a11b2

22

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a2b2ab2a2b2abab()0

∴

证：1∵

||22222

∴a2b22(ab)

22(bc)，

2c2a22(ca)

22同理：b2c2三式相加：a2b2b2c2c2a22(abc)

3由幂平均不等式：

111(ab)22211(a)(b)222(ab1)221

2∴a11b2

22111例四、

a , b, cR,

求证：1(abc)()9

abc1119)

2(abc)(abbcca2abc3

3bccaab2

证：1法一：abc33abc,

法二：左边1111,

两式相乘即得。

33abcabcabcabcabcbacacb3()()()

abcabacbc

≥

3 + 2 + 2 + 2 = 9 abbcca33(ab)(bc)(ca)

2∵2222

1111

33abbcca(ab)(bc)(ca)

两式相乘即得

3由上题：(abc)(1119)

abbcca2cab911

∴1abbcca2abc3

即：bccaab2

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三、小结：综合法

补充：

a22b221．已知a, bR且a



b，求证：()()a2b2（取差）

ba+11112．

设R，x, yR，求证：xsin+2ycos2xy（取商）

ab3a3b3)3．

已知a, bR，求证：(

22证：∵a, bR+

∴(ab)20

∴a2abb2ab

∴a3b3(ab)(a2abb2)ab(ab)

∴3(a3b3)3ab(ab)

∴4(a3b3)a33ab(ab)b3(ab)3

ab3a3b3)∴(

224．

设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：(a12125)(b)2

ab2ab111

∴ab

∴4

证：∵ab224ab1111ab111ab2ab

∴(a)2(b)22ab22ab12111425ab2ab22

2222

2222