1.3 二项式定理（通用）教学设计方案

《1.3二项式定理》的教学设计

永州四中 唐

毅

一、教学内容解析

《1.3二项式定理》这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

二、学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

三、教学目标

1、知识与技能：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广；

（2）理解并掌握二项式定理，能利用组合思想证明二项式定理． 2、过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的

化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3、情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造的过程，体会数学语言的简洁和严谨．

四、教学重点、难点

重点：用组合思想分析(ab)2、(ab)3的展开式，得到二项式定理．

难点：用组合思想分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．

五、教学手段[来源:Zxxk.Com]

制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概念的理解． 六、教学过程

（一）提出问题，引入课题

问题：有两个小桶装有大小相同，质地相同的a、b两小球。在每个桶中各取一个小球，共有几种不同的取法？

枚举法：共有aa、

ab、ba、bb等 4种不同的取法。

分步计数原理：第一步，第一次取球有2种方法；第二步，第二次取球有2种方法，所以一共22=4种不同的取法。

分类计数原理：第一类，都取a，有1种；第二类，取不同，2种；第三类，都取b，有2种，所以一共有N =1+2+1=4种不同的取法。

教师多媒体演示：取球过程。

师：上述过程实际上就是解决(ab)2a22abb2展开式的问题

【设计意图】取球是同学们极为熟悉的组合代表性例子，也是基本的概型，解决该问题学生已经得心应手，并已深刻理解，问题的解决便于学生采用类比的合情推理解决新问题，为下面教学做准备。

（二）引导探究，发现规律

(ab)2a22abb2；

(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3．探究1：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式． （再提问）(ab)，(ab)，…，(ab)56100的展开式呢？

（太无聊了吧！我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式）

【提出问题】求(ab)n(nN*)的展开式

探究2：通过组合思想来分析这两个式子的展开式．

观察此式：(ab)2(ab)(ab)a2abbab2a22abb2．

【问题1】：有几项？

【问题2】：展开式中各项字母的形式是什么？

【问题3】：展开式中项的次数是什么？

【问题4】：怎么得到a项，ab项，b项？

【问题5】：a项，b项前的系数为什么是1，ab项前的系数为什么是2？

能否用学过的组合知识分析这个问题？

由多项式乘法知，其展开式的每一项是由2个(ab)各取一项相乘而得，故每一项都是2222a2kbk(k0，1，2)形式，即a2，ab，b2．各项系数是由相同的项合并而成，有几项其系数就是几，故

2kk2当k0时，aba，是由2个(ab)中都不选b得到的，相当于从2个(ab)中取0个200b（即都取a）的组合数C2，因此a只有1个，系数为：C2；

2kk当k1时，abab，是由一个(ab)中选a，另一个(ab)中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个(ab)中取1个b的组合数，即ab共有C2个，系数为：C2；

2kk2当k2时，abb，是由2个(ab)中都选b得到的，相当于从2个(ab)中取2个b11的组合数C2，因此b只有1个，系数为：C2．

从而可得：(ab)C2aC2abC2b

【问题6】仿照上述过程，请你推导(ab)的展开式．

【问题7】能猜想写出(ab)的展开式吗？

【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用组合思想对(ab)、(ab)的展开式进行再2343202122222

思考，分析各项的形成，项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

（三）形成定理，说理证明[来源:学_科_网]

探究3：仿照上述过程，请你猜想(ab)n的展开式

【问题8】(ab)n的展开式又是怎样的呢？

引导学生回答：可以对b分类：取0个b,取1个b,取2个b,…,取k个b,…,取n个b 将这n1个式子相加，可得二项式定理 0n1n11knkknn

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)．【问题9】如何证明这个猜想呢？

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是ankbk(k0，1，2，，n)的形式，对于每一项，它是由k个(ab)选了b，nk个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从nk个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

n【设计意图】通过仿照(ab)，(ab)展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)的展开式．二项式的定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析、概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

34n（四）概念剖析

1、二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

（1）项数：共有n1项；

（2）各项次数：各项的次数都等于n；

（3）各项中a、b的幂排列：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

knkk2、二项展开式的通项：式中的Cnab叫做二项展开式的通项，用Tk1表示．

knkk即通项为展开的第k1项，Tk1Cn（a、b的位置不能对换）

ab．012knk3、二项式系数：依次为Cn这里Cn，Cn，Cn，，Cn，，Cn，(k0，1，2，，n)称为二项式系数．（注意：二项式系数与项的系数的区别）

4、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表示数或式，其中nN．

（提问）写出(1x)n的展开式．

【设计意图】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手．

*（五）熟悉定理，简单应用

例1 求(2x1x)6的展开式．

思考1：展开式的第3项的系数是多少？

思考2：展开式的第3项的二项式系数是多少？

思考3：你能否直接求出展开式的第3项？

思考4：求展开式中x的．

【设计意图】例1目的在于对定理中字母a、b所表示的数或式的领会及提高运用定理的能力，熟悉二项展开式，培养学生的运算能力；从思考1与思考2中体会项的系数与二项式系数的区别；思考3与思考4是通项的应用．

例2 （1）求(2ab)5展开式的第4项

；（1）求(b2a)展开式的第4项

；

【设计意图】例2二题着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理(ab)的展开式中a与b位置不能对换，并注意到例2（1）的结论正是例2（2）展开式中的倒数第4项．

n5[来源:Zxxk.Com]3

（六）课堂小结

（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

0n1n11knkknn1、公式：(ab)nCn

aCnabCnabCnb(nN*)．2、思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式；（2）用组合思想分析二项式的展开过程．

（七）课后作业[来源:学_科_网]

巩固性作业：课本36页习题13A组1、2、3；

012kn思维拓展型作业：二项式系数Cn有何性质．，Cn，Cn，，Cn，，Cn[来源:Zxxk.Com]

（八）板书设计

（九）教学反思

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律的四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面的二项式展开式的推导作铺垫．再以(ab)2，(ab)3为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题、发现问题、归纳推理问题的能力，从而形成良好的数学思维能力．