一 比较法教案设计（一等奖）

用作差比较法证明不等式时, 要判断不等式两边差的符号, 对不等式两边求差后, 要通

过配方、因式分解、

通分等,对所得代数式进行变形,得到一个能够明显看得出其符号的代

数式,进而得出证明. 【做一做

1-1】

当

a

( ) a b B . lg b 21 D . 21() 2 a >21() 2b 【做一做

1-2】

若

P =2, Q =6-2, R =7-3, 则

P , Q , R 的大小关系是

( ) A . P >Q >R B . P >R >Q C . Q >P >R D . Q >R >P 3. 作商比较法

(1)作商比较法的证明依据:____________ (2)基本步骤:①

______;②

______;③

______________;④

________. 【做一做

2-1】

比较大小:log 34__________log67. 【做一做

2-2】

比较大小:1 21log 3________131log 2 . 答案:1.作差比较法

作商比较法

2. (1) ①

a

a -b <0;②

a =b ⇔

a -b =0;③

a >b ⇔

a -b >0 (2)作差

变形

判断符号

下结论

【做一做

1-1】

B 方法

1:取特殊值

a =-4, b =-1, 则知选项

A , C , D 不正确, 选项

B 正确,故选

B ; 方法

2:∵

a

a 2>b 2. 而函数

y =lg x (x >0) 为增函数,∴

lg b 2

1-2】

A ∵

2+2=26262,即

P >Q ; 6372, ∴

6-2>7-3,即

Q >R . ∴

P >Q >R . 3. (1)当

b >0时, ⎩⎪⎨⎪⎧

a =b ⇔

a b =1; a >b ⇔

a b >1; a

a b <1. (2)作商

变形

判断与

“1”

的大小

下结论

【做一做

2-1】

> 设

log 34=a , log 67=b ,则

3a =4,6b =7,得

7×3a =4×6b =4×2b ×3b , 即

3a -b =4×2b 7, 由

log 67=b 可知, b >1, 所以

2b >2,则

3a -b =4×2b 7 >1, 所以

a -b >0,即

a >b ,即

log 3 4>log 6 7. 【做一做

2-2】

> 1 2131 log 3log 2=112211log log 33⋅=2121(log) 3, 又∵

1 21log 3>121log 2 =1, ∴

21 21(log) 3 >1. ∴

1 21log 3>131log 2 . 

1. 作差比较法证明不等式的一般步骤

剖析:(1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差. (2)变形:将差式进行变形,变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一

个或几个平方和等等. (3)判断符号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号. (4)结论:肯定不等式成立的结论.



若差式的符号不能确定,且与某些字母的取值有关时,需对这些字母进行讨论. 2. 作商比较法中的符号问题的确定

剖析:在作商比较法中, b a >1b >a 是不正确的,这与

a , b 的符号有关,比如若

a , b >0 b a 1,可得

b >a ,但若

a , b <0,则由

b a >1得出的反而是

b

商比较法中,要对

a , b 的符号作出判断.否则,结论将是错误的.对于此类问题,可分为

含参数变量类的和大小固定的, 因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测, 进而给出一

定的理性推理或证明过程. 

使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值, 若均为负值时, 可先同乘以

-1,转化后再进行证明.