2.基本不等式设计意图

基本不等式教学设计

教材

人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》选修4-5

课题

基本不等式

授课类型

新授课

一、教学目标 1、知识与技能

了解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式取等号的条件；

能够初步运用基本不等式及其取等条件解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。

2、过程与方法

通过公式推导过程的教学，培养学生观察、猜想、归纳的思维能力，使学生体会数形结合的思想方法，并引导学生从不同角度解释基本不等式。

3、情感态度与价值观

通过基本不等式的推导，培养学生严密的逻辑推理能力，通过运用基本不等式，使学生领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。

二、重点难点

重点：会使用基本不等式求最值，尤其注意基本不等式成立的前提

条件和等号成立的条件；

难点：不知何时使用基本不等式，在使用基本不等式求最值时，容易忽略基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）. 课前准备：多媒体课件的制作

三、教学过程设计

1、课题导入

观察图片，找关系

abab22

师：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色明暗使它看起来像一个风车，代表中国人民热情好客。（稍作停顿）观察图片，能从中找出一些相等或者不相等的关系吗？

生：……

师：让我们带着问题一起进入今天的新课学习—基本不等式

（设计意图：让学生观察图形，从图形中抽象出不等关系，并提出问题，激发学生的习兴趣，引入学习课题。）

2、基本不等式推导过程及其理解

（1）、公式推导

师：如果我们设直角三角形的边长分别为a，b，那么正方形的边长为a2b2，于是正方形的面积为a2b2，四个直角三角形的面积之和为a2b2根据前面的讨论，我们有a2b2>a2b2。那么这个关系是否恒成立的呢？

生：还可以取等。

师：当直角三角形变为等腰直角三角形时，也即a=b时，等号是成22立的。从而我们得出这样的关系ab2ab。

师：那么这个关系对于任意的实数也都成立吗？

生：成立。

师：你能证明你的结论吗？

生：……

师：我们一起来分析一下，要证明ab2ab，我们需要证明22a2b22ab0，根据完全平方公式，这个关系显然是成立的。

（设计意图：对图形进行进一步分析，并通过动画展示，使学生直观感受变化过程，将前面的不等关系完善，引导学生将这个关系推广到实数中去，在培养学生逻辑推理能力的同时向学生渗透数形结合的思想方法。）

（2）、对公式的理解

师：根据前面的讨论，我们得出如下结论：

一般地，对于任意实数a、b，我们有

a2b22ab

当且仅当a=b时，等号成立。

特别地，如果a>0，b>0，我们用a，b分别代替a、b，可得

ab2ab

通常我们把上式写作

abab

2

师：我们常把ab叫做正数a、b的几何平均数，把ab叫做正数2a、b的算术平均数。于是我们可以这样理解我们的基本不等式：两个正数的几何平均数不小于它们的算术平均数。（稍有停顿）前面所学的知识，你还能怎样理解基本不等式？

生：……

ab师：我们发现ab恰好是正数a、b的等比中项，而恰好是正2数a、b的等差中项，从而我们还可以这样理解：两个正数的等比中项不小于它们的等差中项。

（设计意图：总结前面讨论所得的结论，并对结论进行拓展，引导学生发现几何平均数和算术平均数，注意从不同的角度解释基本不等式，加深对公式的记忆。）

3、基本不等式的推广

ab平均不等式ab112ab

2a2b2(a,b0)2

推广：(a1,a2,,an0)n111a1a2an

4、基本不等式的应用

（1）基本不等式的的相关证明

na1a2ana1a2anna1a2ann222

（2）与基本不等式有关的最值问题

师：通过前面的学习，相信大家对基本不等式已经有了一定的了解，现在我们就一起来运用基本不等式解决一些简单的问题。

（3）与基本不等式有关的函数值域问题

5、课堂练习

6、小结

7、作业

（设计意图：对本节课的内容进行巩固，在学生独自完成作业的过程中，培养学生独立解决问题的能力）

四、板书设计

主板书： 基本不等式

22ab2ab 取等条件：a=b

1、 2、abab 取等条件：a=b

2

3、任意两个正数，积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。

副板书：

S正=a2b2 4S△=2ab

a2b22ab

例1、

例2、

例3、