小结板书设计及设计说明

练习二

1．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）估计这200名学生健康指数的平均数 和样本方差

（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数

近似服从正态分布

，其中

近似为样本平均数 ，

近似为样本方差

.

①求

；

②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间

的人数为

，试求 .

附：参考数据

，

若随机变量

服从正态分布

，则

，

,

.

【答案】（1）75，135；（2）① ；② . 【详解】

（1）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：

分值区间

频数

∴

，

5

15

40

75

45

20 试卷第1页，总9页

. （2）①由（1）知

服从正态分布

，且

，

∴

-

.

②依题意，

服从二项分布，即

～

，则

. 2．今年3月5日，国务院总理***作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进得复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为

，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.

（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ，求 ；

（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.

【答案】（1）

；（2）若以此方案实施，不会超过预算. 【详解】

（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为

，

一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为

， 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为

. （2）设每篇学位论文的评审费为

元，则

的可能取值为900，1500.

，

，

所以

. 试卷第2页，总9页

令

,

. 当

时，

，

在

单调递增,

当

时，

，

在

单调递减,

所以

的最大值为

. 所以实施此方案，最高费用为

综上，若以此方案实施，不会超过预算. 3．从某公司生产线生产的某种产品中抽取 件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：

（万元）.

（Ⅰ）求这 件产品质量指标的样本平均数 和样本方差

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值

服从正态分布

，其中

近似为样本平均数

近似为样本方差

.

（i）利用该正态分布，求

；

（ii）已知每件该产品的生产成本为 元，每件合格品（质量指标值

）的定价为 元；若为次品（质量指标值

），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户 元。若该公司卖出 件这种产品，记

表示这件产品的利润，求

.

附：

.若

，则

.

【答案】（Ⅰ）平均数

200,方差

；（Ⅱ）（i）0.95；(ii)280. 【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据图中的数据及平均数、方差的定义可得所求．（Ⅱ）(i)根据正态分布中特殊区间上的概率求解；(ii)先由正态分布得到

，然后再根据均值的线性性质求解即可．

试卷第3页，总9页

【详解】

（Ⅰ）由题意得

．

∴

，

即样本平均数为 ，样本方差为 ．

（Ⅱ）(i)由（Ⅰ）可知， ，

，

∴

, ∴

，

(ii)设

表示100件产品的正品数，由题意得

，

∴

，

∴

．

4．东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价

元，售价 元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区 天的销售量如下表：

（视样本频率为概率）

（1）根据该产品 天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为

，求

的分布列与期望

（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进 或 份，哪一种得到的利润更大？

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得

的取值为 ，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；

（2）分别求解当购进 份时的利润和购进 份时的利润即可确定利润更高的决策. 【详解】

（1）根据题意可得

试卷第4页，总9页

，

，

，

，

，

，

，

的分布列如下：

（2）当购进 份时，利润为

，

当购进 份时，利润为

，

可见，当购进 份时，利润更高. 5．某地种植常规稻

和杂交稻

，常规稻

的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为 ，变为3.90元/公斤的可能性为 ，变为4.00的可能性为 .统计杂交稻

的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近10年杂交稻

的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为

，并得到散点图如图②.

试卷第5页，总9页

（1）根据以上数据估计明年常规稻

的单价平均值；

（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻

的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻

的亩产超过795公斤的概率；

（3）①判断杂交稻

的单价

（单位：元/公斤）与种植亩数

（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出

关于

的线性回归方程；

②调查得知明年此地杂交稻

的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻

和杂交稻

中选择，明年种植哪种水稻收入更高？

统计参考数据：

，

，

，

，

附：线性回归方程

，

.

【答案】（1）3.9；（2）0.104；（3）①

；②选择种杂交稻

收入更高. 【解析】

【详解】

解：（1）设明年常规稻

的单价为

，则

的分布列为

，

估计明年常规稻

的单价平均值为3.9（元/公斤）；

（2）杂交稻

的亩产平均值为：

. 依题意知杂交稻

的亩产超过795公斤的概率

，

试卷第6页，总9页

3.70 0.1 3.90 0.7 4.00 0.2

则将来三年中至少二年，杂交稻

的亩产超过795公斤的概率为：

. ∵（3）①散点图中各点大致分布在一条直线附近，

∴可以判断杂交稻

的单价

与种植亩数

线性相关，

由题中提供的数据得：

，

由

得

，

∴线性回归方程为

，

②

估计明年杂交稻

的单价

元/公斤；

估计明年杂交稻

的每亩平均收入为

元/亩，

估计明年常规稻

的每亩平均收入为

元/亩，

∵ ，∴明年选择种杂交稻

收入更高. 6．在“五四青年节”到来之际，启东中学将开展一系列的读书教育活动.为了解高二学生读书教育情况，决定采用分层抽样的方法从高二年级

四个社团中随机抽取12名学生参加问卷调査.已知各社团人数统计如下：

（1）若从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一个社团的概率；

（2）在参加问卷调查的12名学生中，从来自

三个社团的学生中随机抽取3名，用

表示从

社团抽得学生的人数，求

的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）见解析. 【详解】

（1）

社团共有学生

名，

抽取12名学生，抽取比例为

. 则抽取的12名学生中，

社团3名，

社团4名，

社团2名，

社团3名. 则12名学生抽取2名学生，来自同一个社团的概率为

：

. （2）12名学生中来自 三个社团的学生共有10名，若从中任取3名，抽取

社团的人数

服从超几何分布，

的取值为

，

试卷第7页，总9页

,

，

，

则

的分布列为

在该超几何分布中，

所以数学期望

. 7．某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：

方案一：交纳延保金 元，在延保的两年内可免费维修

次，超过

次每次收取维修费 元;

方案二：交纳延保金 元，在延保的两年内可免费维修

次，超过

次每次收取维修费

元.

某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：

维修次数

机器台数

以上 台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记

表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数.

求

的分布列；

以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【详解】

（1）

所有可能的取值为

，

，

，

，

试卷第8页，总9页

0

20

1

10

2

40

3

30

，

，

的分布列为

（2）选择延保方案一，所需费用

元的分布列为：

(元) 选择延保方案二，所需费用

元的分布列为：

当

当

当

(元)

，即

时，

选择方案二

，即

时，选择方案一，方案二均可

，即

时，选择方案一

试卷第9页，总9页