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复习课(三) 统计案例

[回归分析] 1．变量间的相关关系是高考解答题命题的一个，主要考查变量间相关关系的判断，求解回归方程并进行预报估计，题型多为解答题，有时也有小题出现。

2．掌握回归分析的步骤的是解答此类问题的关键，另外要掌握将两种非线性回归模型转化为线性回归分析求解问题。

[考点精要] 1．一个重要方程

^^对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归直线方程为y＝bx＋^a. n

xi－x^其中b＝i＝1nyi－y^^，a＝y－bx. 

xi－xi＝122．重要参数

相关指数R是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好。

3．两种重要图形

(1)散点图

散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下：

一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系；

二是判断样本中是否存在异常。

(2)残差图

残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：

一是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．

二是确认样本点在采集中是否有人为的错误。

[典例] 如图是我国2010年到2016年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图。

2

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量。

附注：

777参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17, i＝1i＝1

yi－yi＝12＝0.55，7≈2.646.

1

n

ti－ti＝1yi－y，

n2参考公式：相关系数r＝n

ti－ti＝1

yi－y2i＝1n

ti－t^^^^回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝i＝1nyi－y^，a＝y

ti－ti＝12^－bt. [解] (1)由折线图中数据和附注中参考数据得

772t＝4， (ti－t)＝28, i＝177

yi－yi＝172＝0.55，

2.89≈0.99.

2×2.646×0.55 (ti－t)(yi－y)＝tiyi－ti＝1i＝1yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈i＝1因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

9.32(2)由y＝≈1.331及(1)得

77

ti－ti＝17yi－y＝2.89≈0.103，

28

ti－ti＝12^a＝y－bt≈1.331－0.103×4≈0.92.

^所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t. 将2018年对应的t＝9代入回归方程得

^y＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．

[类题通法] 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并且用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关指数R来检查模型的拟合效果，从而得到最佳模型。

[题组训练] 1．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(

) A．r2

2^B．0

2

C．r2<0

D．r2＝r1

解析：选C 画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1>0，U与V是负相关，相关系2．某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如下表：

月份

销售量x/万件

利润y/万元

1

10

22

2

11

25

3

13

29

4

12

5

8

6 6 12 26

16

^^^(1)根据2～5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程y＝bx＋a；

直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？

解：(1)根据表中2～5月份的数据，

计算得x＝11，y＝24，

55(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归 (xi－x)(yi－y)＝36， (xi－x)＝14 i＝2i＝25

xi－x^则b＝i＝25yi－y3618＝＝，

1472

xi－xi＝2307^1830故y关于x的回归直线方程为y＝x－. 77^a＝y－bx＝24－×11＝－。

^187(2)当x＝10时，

30150^18y＝×10－＝，

777150此时－22<2；

73078^18当x＝6时，y＝×6－＝，

77778此时－12<2. 7故所得的回归直线方程是理想的。

[课堂训练] 1．近几年高考中对独立性检验的考查频率有所降低，题目多以解答题形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．

2．独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系” 成立，在该假设下构造的随机变量K应该很小，如果由观测数据计算得到的K的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K的含义，可以通过概率P(K≥k0)来评价该假设不合理的程度。

[考点精要] 在实际问题中常用的几个数值

(1)K≥6.635表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0.01. 3

22222

(2)K≥3.841表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0.05. (3)K≥2.706表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0.1. [典例] 为了解某地区观众对某大型综艺节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众观看该节目的场数与所对应的人数的表格：

场数

人数

9

10

10

18

11

22

12

25

13

20

14 5 22将收看该节目场数不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成如下2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否为“歌迷”与性别有关？

男

女

总计

非歌迷

歌迷

总计

(2)将收看该节目所有场数(14场)的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。

注：

P(K2≥k0)

k0

K2＝a＋bnad－bcc＋da＋c20.10

2.706

0.05 3.841 b＋d

男

女

总计

，n＝a＋b＋c＋d. [解] (1)由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：

非歌迷

30

45

75

歌迷

15

10

25

总计

45 55 100 将2×2列联表中的数据代入公式计算得：

2－45×1002K＝＝≈3.030<3.841，

75×25×45×5533所以我们不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否为“歌迷”与性别有关。

(2)由统计表可知，“超级歌迷”有5人，其中2名女性，3名男性，设2名女性分别为a1，a2,3名男性分别为b1，b2，b3，从中任取2人所包含的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10个，用A表示“任意选取的2人中，至少有1名女性观众”这一事件，A包含的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7个，所以P(A)＝。

[类题通法] 独立性检验问题的求解策略

(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性。

(2)K统计量法：通过公式

nad－bc22K＝a＋bc＋da＋c [题组训练] 4

2710b＋d

先计算观测值k，再与临界值表作比较，最后得出结论。

1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好

不爱好

总计

由K＝2男

40

20

60

女

20

30

50

总计

60 50 110 a＋bnad－bcc＋da＋c22b＋d算得，

K＝附表：

2－60×50×60×50≈7.8.

P(K2≥k0)

k0

参照附表，得到的正确结论是(

) 0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828 A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

解析：选A 由7.8>6.635知，有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

2．2018年第21届世界杯足球赛在俄罗斯举行，为调查某高校学生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了60人，结果如下：

是否愿意提供志愿者服务

性别

男生

女生

(2)在(1)中抽取的6人中任选2人，

求恰有一名女生的概率．

(3)你能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？

下面的临界值表供参考：

愿意

20

10

不愿意

10 20 (1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，

其中男生抽取多少人？

P(K2≥k0)

k0

0.15

2.072

0.10

0.05

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001 10.828 2.706

3.841

nad－bc22独立性检验统计量K＝a＋bc＋da＋c20解：(1)由题意，男生抽取6×＝4(人)，

20＋1010女生抽取6×＝2(人)。

20＋10b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d. C4C28(2)在(1)中抽取的6人中任选2人，恰有一名女生的概率P＝2＝. C6152－2(3)K＝≈6.667，由于6.667>6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.0130×30×30×30的前提下认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关。

5

11