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数学

选修2-3统计案例小结

藁城区第二中学 孙彦利

教学目标

1. 认识随机误差，认识残差以及相关指数

2.根据散点图分布特点，建立线性回归模型

3.了解模型拟合效果的分析工具——残差分析

教学重点和难点

1.了解模型拟合效果的分析工具——残差分析和相关指数R2

2.会用所学的知识对实际问题进行回归分析. 3.能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.

教学过程

1.引导学生复习回忆必修3中的统计内容

（1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报。

（2）用最小二乘法计算回归方程斜率和截距近似值的公式

ˆb(xx)(yy)xynxyiiii1nn(xix)i1n2i1nixnx2ii12

ˆaˆˆˆˆybxybxa

得回归方程

2.通过例题对具有线性相关关系的两变量进行研究

例

从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示

编号体重/kg148257350454564661743859身高/cm165165157170175165155170

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。 思路：画散点图，求回归方程，进行预报

3.通过对例题解答过程的分析引出线性回归模型的完整表达式

ybxae2E(e)0,D(e)

其中，a和b是模型的未知参数

e为真实值y与预报值bx＋a之间的误差，通常e为随机变量，称为随机误差。

线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化，所以在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y为预报变量。

分析随机误差产生的原因

（1）其它因素的影响

（2）用线性回归模型近似真实模型所引起的误差

4.由随机误差引出残差的概念，并根据例题中的数据绘制残差图进行分析，引导学生归纳出残差分析的用途：

（1）判断模型拟合的效果，（2）判断原始数据中是否存在可疑数据

并引入残差平方和的表达式越小，模型拟合效果越好。

(yi1niyi)2说明残差平方和5.直接给出用来刻画回归效果的另一参数-----相关指数R2

2(yy)ii2(yy)ii1i1nnR21

R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。

在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近1，表示回归的效果越好

6.总结建立回归模型的基本步骤为：

（1）确定研究对象，明确解释变量和预报变量

（2）画出散点图，观察它们之间的关系

（3）由经验确定回归方程的类型

（4）按一定规则估计回归方程中的参数

（5）对建立的模型进行残差分析，判断拟合效果

巩固练习

1.已知回归直线方程y=bx+a,其中a=3，且样本点的中心为（1,2),求回归方程

2.为了表示n

个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用________表示

3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为0.98，0.80，0.50，0.99，其中拟合效果最好的模型是（ ）

A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4