3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计案例

3.2

复数代数形式的四则运算

3．2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、学习目标：

1．熟练掌握复数的代数形式的加减运算法则．(重点) 2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点易混点) 二、基础知识初探

教材整理1

复数代数形式的加法运算及几何

意义

阅读教材P56～P57“思考”以上内容，完成下列问题．

1．运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. 2．加法运算律

交换律

z1＋z2＝z2＋z1

结合律

(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)

3.复数加法的几何意义

→→如图3-2-1，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行→四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ. 1

图3-2-1 三、试一试1：

→→在复平面内，向量OZ1对应的复数为－1－i，向量OZ2对应的复数为1－i，则→→OZ1＋OZ2对应的复数为________．

→→【解析】

由复数加法运算的几何意义知，OZ1＋OZ2对应的复数即为(－1－i)＋(1－i)＝－2i. 【答案】

－2i 教材整理2

复数代数形式的减法运算及几何意义

阅读教材P57“思考”以下至“例1”以上内容，完成下列问题．

1．运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数减法的几何意义

→→→如图3-2-2所示，设OZ1，OZ2分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且OZ1，→→→→OZ2不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量OZ1－OZ2(即Z2Z1)对应，这就是复数减法的几何意义．

2

图3-2-2 →→这表明两个复数的差z1－z2(即OZ1－OZ2)与连接两个终点Z1，Z2且指向被减数的向量对应．

四、微体验

已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z1－z2对应的点位于第________象限．

【解析】

z＝z1－z2＝(2＋i)－(1＋2i)＝(2－1)＋(1－2)i＝1－i，对应的点为(1，－1)位于第四象限．

【答案】

四

质疑·手记

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

3

五、小组合作探究

（一）复数的加减运算

计算：

(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；

(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；

(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；

(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．

【精彩点拨】

复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．

【自主解答】

(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i. 小结：

1．复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行．

2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．

3．准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．

[再练一题] 1．计算：

(1)(－2＋3i)＋(5－i)；

(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

【解】

(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i＝22i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.

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（二）复数加减运算的几何意义

→→

设OZ1及OZ2分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试→→计算z1＋z2，并在复平面内作出OZ1＋OZ2. →→【精彩点拨】

利用加法法则求z1＋z2，利用复数的几何意义作出OZ1＋OZ2. 【自主解答】

∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，

∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i. →→∵OZ1＝(5,3)，OZ2＝(4,1)，

→→由复数的几何意义可知，OZ1＋OZ2与复数z1＋z2对应，

→→∴OZ1＋OZ2＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)，

→→作出向量OZ1＋OZ2，如图所示．

小结：

1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．

2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．

3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．

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[再练一题] →2．复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为→1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求点C对应的复数．

→→【解】

∵BA对应的复数为1＋2i，BC对应的复数为3－i，

→→→∴AC＝BC－BA对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. →→→又∵OC＝OA＋AC，

∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 综合探究：复数加减法几何意义的综合应用

探究1：

|z1－z2|的几何意义是什么？

【提示】

|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．

探究2：

满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么曲线？

【提示】

∵|z－i|＝|3＋4i|＝5，∴复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5为半径的圆．

已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．

【精彩点拨】

利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．

【自主解答】

法一：设w＝z－3＋4i，

∴z＝w＋3－4i，

∴z＋1－i＝w＋4－5i. 又|z＋1－i|＝1，

∴|w＋4－5i|＝1. 可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．

如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1. 6

图(1)

图(2) 法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，

而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，

在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，

所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.

小结：

|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.

[再练一题] 3．已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．

【解】

由复数及其模的几何意义知：

满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1. 复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．

而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r，最大值为|AC|＋r. ∴|z－3－2i|min＝|z－3－2i|max＝

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＋＋22＋－－22－1＝4. ＋＋1＝6.

六、课堂评价：

1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(

) A．－1＋i C．i 【解析】

(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i. 【答案】

A 2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

【解析】

∵z＝z2－z1＝(1＋5i)－(3＋i) ＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i. 【答案】

B 3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z(

) A．在实轴上

C．在第一象限

限

【解析】

设z＝x＋yi(x，y∈R)，

由|z－1|＝|z＋1|，得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，

化简得x＝0. 【答案】

B →→→4．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1→＋5i，那么BC对应的复数为________.

→→→→→【解析】

∵BC＝－(OA－OC＋AB)，∴BC对应的复数为－[(－2＋i)－(3＋2i)＋(1＋5i)] ＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i] ＝－(－4＋4i)＝4－4i. 8

B．1－i D．－i B．第二象限

D．第四象限

B．在虚轴上

D．在第二象

【答案】

4－4i 5．计算：

(1)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)；

(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)－(2 016－2 017i)．

【解】

(1)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i) ＝(10－8－3)＋(－9＋7－3)i＝－1－5i. (2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 015－2 016)＋(－2＋3－4＋5－…－2 016＋2 017)i＝－1 008＋1 008i.

请反思我还有哪些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)

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