1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质课教案设计

《独立性检验的基本思想及其初步应用》

教学设计

周烨

平昌县元山中学

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

平昌县元山中学 周烨

【教学目标】

1.知识与技能：通过对典型案例的探究,了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能解决实际问题。

2.过程与方法：通过设置问题，引导学生自主发现、合作探究、归纳展示、质疑对抗，使学生成为课堂主体。

3.情感、态度与价值观：通过本节课学习，让学生体会统计方法在决策中的作用；合作探究的学习过程，使学生感受发现、探索的乐趣及成功展示的成就感，培养学生学习数学知识的积极态度。

【教学重点】

了解独立性检验的基本思想及实施步骤。

【教学难点】

独立性检验的基本思想；随机变量K的含义。

【学情分析】

本节课是在学习了统计、回归分析的基本思想及初步应用后，利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，为以后学习统计理论奠定基础。

【教学方式】

多媒体辅助，合作探究式教学。

【教学过程】

一、情境引入，提出问题

5月31日是世界无烟日，有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、肺病等都与吸烟有关，吸烟已经成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？

[设计意图说明] 好的课堂情景引入，能激发学生的求知欲，是新问题能够顺利解决的前提之一。

问题 你认为吸烟与患肺癌有关系吗？怎样用数学知识说明呢？

2

2

[设计意图说明] 提出问题，引导学生自主探究，指明方向，步步深入。

二、阅读教材，探究新知

1.分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种：

[设计意图说明] 利用图像向学生展示变量的不同取值，更加形象的表示分类变量的概念。

这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。

生活中有很多这样的分类变量如：

是否吸烟

…

宗教信仰

国籍

民族

…

2.列联表

为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果： 表3—7 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表（一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为22列联表）。

问题1、吸烟与患肺癌有关系吗？

3

由以上列联表，我们估计①在不吸烟者中患肺癌的比例为________；

②在吸烟者中患肺癌的比例为 。

因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。

还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关呢？

3.等高条形图

比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌。

[设计意图说明]

从具体的事例出发引入概念，有利于帮助学生对概念的理解。

三、小组讨论，合作交流

问题2、你有多大程度判断吸烟与患肺癌有关？用什么方法进行检验呢？

我们先假设 H0:吸烟与患肺癌没有关系。

用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于：P(AB)P(A)P(B)

上述列联表中的数字用字母代替，可得如下列联表： 表3—8 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

则有

P(AB)不患肺癌

患肺癌

总计

a

c

b

ab

d

bd

cd

abcd

ac

aabca,P(B)，P(A)，其中nabcd为样本容量

nnnaabca

nnn所以在H0成立的条件下应该有：

4

即 (abcd)a(ab)(ca)

即 adbc

探究：adbc的大小能说明了什么？

adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2 K (1) (ab)(cd)(ac)(bd)2其中nabcd为样本容量。

探究：K的大小能说明什么？

若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小。根据表3—7中的数据，利用公式（1）计算得到K的观测值为

2229965(777549422099)2k56.632 781721489874919965(777549422099)256.632这个值到底能告诉我们什么探究：k78172148987491呢？

统计学家经过研究后发现，在H0成立的情况下，

P(K26.635)0.01 (2) (2）式说明，在H0成立的情况下，K的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件。

2现在K的观测值k56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为2“吸烟与患肺癌有关系”。但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。

在上述过程中，实际上是借助于随机变量K的观测值k建立了一个判断H0是否成立的规则：

5 2

如果k6. 635，就判断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系。

在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过P(K26.635)0.01, 即有99%的把握认为H0不成立。

[设计意图说明] 独立性检验的思想是本节课的教学重点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，学生不仅能够直观感受，更是直接参与讨论和总结，从而让学生理解独立性检验的基本思想，突破本节课难点，培养学生的分析、探究、归纳能力以及小组协作的意识。

四、形成概念，重点精讲

上面解决问题的想法类似于反证法。要判断“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即

H0：两个分类变量没有关系

成立。在该假设下我们所构造的随机变量K应该很小。如果由观测数据计算得到的K的观测值k很大，则在一定可信程度上说明H0不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明在样本数据中没有发现足够的证据拒绝H0。

怎样判断K的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为222K2的观测值k大。此时相应于k0的判断规则为：如果kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。我们称这样的k0为一个判断规则的临界值。按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P(K2k0)。

在实际应用中，我们把kk0解释为有(1P(K2k0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把kk0解释为没有(1P(K2k0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。

上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为独立性检验。

根据上述，“独立性检验”的具体做法步骤为：

2

6

第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

第二步：利用公式计算随机变量K的观测值k；

第三步：比较k与k0的大小得出结论。

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值k0：

表3-11 临界值表

2P(K2k0)

0.50 k0

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 课堂练习1：

1、对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，说法正确的是(

) A．k越大，“ X与Y有关系”可信程度越小

B．k越小，“ X与Y有关系”可信程度越小

C．k越接近于0，“X与Y无关”程度越小

D．k越大，“X与Y无关”程度越大

答案：B 2、通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好

不爱好

总计

2

男

40 20 60 女

20 30 50 总计

60 50 110 n(adbc)2K(ad)(cd)(ac)(bd) 由110(40302020)2K7.860506050算得，

2附表： p(K2k)

k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是( ) A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为

“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为

“爱好该项运动与性别无关”

7

答案：A

五、运用新知，归纳展示

为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取500名学生，得到如下列联表： 单位：人

男

女

总计

喜欢数学课程

104 95 199 不喜欢数学课程

128 173 301 总计

232 268 500 能够有95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？

解：根据列联表中的数据，得到

500(10417312895)24.5663

k2322681993014.56633.841

所以，能够有95％的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”。

[设计意图说明] 学以致用，学生对独立性检验进行实际应用。通过学生展示，一方面巩固了知识，体现了数学在实际中的应用，另一方面暴露了学生的书写不规范问题，加强规范要求。 六、课堂检测，节节达标

课堂练习2：

1．(2011·广东执信中学)某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查，得到的统计数据如下表所示：

积极参加班级

学习积极性高 学习积极性一般 工作

18 6 7 19 不太主动参加班级工作

25 25 合计

合计 24 26 50 (1)如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多

8

少？抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？

(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的积极性与对待班级工作的态度有关系？

241219解析：(1)P1＝＝，P2＝. 502550nad－bc250×18×19－6×72(2)根据K＝＝≈11.538＞10.828，

a＋bc＋da＋cb＋d24×26×25×252所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．

2．（2013·深圳二模）2013年3月14财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：

混凝土耐久性达标

混凝土耐久性不达标

总计

使用淡化海砂

使用未经淡化海砂

总计

25 15 40 5 15 20 30 30 60 根据表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？

解析：提出假设H：使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关02

根据表中数据，求得K的观测值

∴能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关.

9

高考在线：

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[设计意图说明] 通过目标检测结果性评价来激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，及时反馈学生信息，了解学生的学习效果。

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七、归纳小结，提炼精髓

1．了解2×2列联表的意义并能识别等高条形图；

2．了解独立性检验的基本思想；

3．了解独立性检验的操作步骤。

[设计意图说明] 通过回忆、归纳、总结，强调重点知识，体现课标精神，达到教学目的。

八、课后作业，自主学习

课后习题，活页练

[设计意图说明]

巩固本节课基础知识，加深知识的应用。

【板书设计】

【教学评价与反思】

教学过程始终贯彻以学生为主体的探究式学习，学生思考、探究、讨论，得出解决问题的思路并完成落实，总结出解题的一般步骤，教师只起到提出问题，适时点评、提升的作用。

通过课堂检测，及时反馈学生学习效果，达到了教学目标。课堂上处处以学生为主体，体现高效课堂本质，相比传统课堂效果更好，培养了学生能力，体现课标精神。

独立性检验的基本思想及其初步应用

1、分类变量

2、列联表

3、等高条形图

4、卡方统计量

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