3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计第一课时

复数代数形式的四则运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

平定一中

李成英

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3.2.2 复数代数形式的乘除运算

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念

教学难点：乘除运算 教学过程：

一、复习准备：

1. 复数的加减法？

2. 计算（1）(14i)+(72i) （2）(52i)+(14i)(23i) （3）(32i)-[(43i)(5i)]

类比多项式的乘法引入复数的乘法

二、讲授新课：

1.复数代数形式的乘法运算

①.复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i。

[(32i)(43i)](5i)

例1．计算（1）(14i)(72i) （2）(72i)(14i) （3）1i1i（6）ii1ii1i（4）(32i)[(43i)(5i)] （5）

探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？

证明复数的乘法运算是满足交换律：

设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， (a1，a2，b1，b2，∈R).

∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. ②乘法运算律:z1·z2=z2·z1

(交换律) (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律) 例2．1、计算（1）(14i)(14i) （2）(32i)2

③共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。

记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作zabi

zz zzz2 z2

练习

口答：说出下列复数的共轭复数

⑴z=2+3i ⑵z=-6i ⑶z=3

思考:若z1 , z2是共轭复数，那么

⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？

⑵z1·z2是一个怎样的数？

解：⑴作图

2

两复数abi与abi叫

⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi 则z1·z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 22 =a+b结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数。

类比1223(12)(23)(23)(23)，试写出复数的除法法则。

2．复数的除法法则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cxdya,

dxcyb.acbdx,22cd

解这个方程组，得ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=1223acbdbcad2i. 222cdcd，试写出复数的除法法则。

类比(12)(23)(23)(23)②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将

原式=abi的分母有理化得：

cdiabi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd

3

(acbd)(bcad)iacbdbcad2i. c2d2cd2c2d2abi(abi)(cdi)acbdbcadi

cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2∴(abi)(cdi)其中cdi叫做实数化因子

例3．计算(1+2i) ÷(3-4i) 12i解：(12i)(34i)

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

(34i)(34i)32422555练习：

（1）



1

i21i(2) 1132i32i(3)3i

(1i)21(4) 12ii

三、能力提升

1.已知 z132i,z214i求:

zz1z1z2,z1z2,z1z2,,1,z14

z

2z2

2i2.（2007年重庆卷）复数 的实部为__,虚部为__. 2i3z3.已知12iz43i,求z及

z四、课堂小结：

⑴复数乘法的运算法则、运算规律，共轭复数概念. ⑵复数除法运算法则. 思考题：已知2i3是关于x的方程2x2pxq0的一个根,求实数p,q的值. 问题: 2i3是不是方程的根?这两个跟什么关系?韦达定理成不成立？

五、课后作业：

课本60,61页练习.

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