1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计(第一课时)

1.2

独立性检验的基本思想及其初步应用（1）

一、知识梳理：

阅读教材10——12页相关内容填空：

1．

对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种。

像这样的变量的不同值

的变量称为分类变量．例如

，

。

（这里的“值”不一定是数值，比如：性别变量只取男、女；商品的等级变量只取一级、二级、三级等）

2.本节主要研究

个分类变量之间的关系。每个分类变量只取

个值。

列出两个分类变量的

称为列联表。22列联表是

。

3.与表格相比，图形更能直观地反映出

是否相互影响，等高条形图展示的是列联表数据的

特征。

4．独立性检验的基本思想是 。并能区分独立性检验与反证法的异同。

5．粗略判断两个分类“X与Y是否有关”的方法：

（1）列联表频数分析：比较ad与bc的大小。

规律：adbc越

，表明X与Y之间有关系的可能性越

。adbc越

，表明X与Y之间有关系的可能性越

。

（2）列联表频率分析：比较ac与的大小。

abcd规律：acac越

，表明X与Y之间有关系的可能性越

。abcdabcdac与的值作出等高条形图能更清晰的观看出abcd越

，表明X与Y之间有关系的可能性越

。

（3）等高条形图频率分析：利用X与Y之间是否有关系。

二、问题探究：

1.某单位有85名员工。男性68名，其中有45名喜欢足球运动，女性有5名喜欢足球运动，请你作出“性别与喜欢足球”的22列联表，并根据上面列联表中的数据作出等高条形图，并根据结果判断“喜欢足球”与“性别”是否有关？

1

2.在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：

男学生

女学生

合计

吃零食

24 8 32 不吃零食

31 26 57 合计

55 34 89 根据上述数据分析，“吃零食”与“性别”是否有关？

三、体验展示：

1．下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表

那么，A= ，B= ，C= ，D= ，E= .

2.为了探究患慢性气管炎与吸烟有无关系,调查了339名50岁以上的人,结果如下表所示,据此数据请问:50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关系吗?

吸烟

不吸烟

合计

患慢性气管炎

43 13 54 未患慢性气管炎

162 121 283 合计

205 134 339

四、总结归纳：

1.如何作22列联表？

2.等高条形图实际上是两个变量的一种频率图，也就是把列联表中的数据直观化、比例化。

2

1.2

独立性检验的基本思想及其初步应用（2）

一、知识梳理：

阅读教材12——15页相关内容回答下列问题：

1．统计学提出假设H0，采用统计量K2 作出判断. 2．独立性检验与列联表和等高条形图相比较，你认为三种方法中 方法对判断“X与Y有关系”的精确度更高. 3．在假设H0：“X与Y没有关系”成立的情况下，如果K的值很小，说明 如果K的值很大，又说明 . 4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和22Y有关系”的可信度. pK2k

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.83

2如果我们计算得到K的观测值k13.68，那么在假设H0：“X与Y没有关系”成立的情况下，出现这么大的观测值的概率不超过 说明“X与Y有关系”这一结论错误的概率有 也就是说我们有把握认为“X和Y有关系”的百分比为 如2果我们计算得到K的观测值k0.975，结论又如何呢？

5.（1）如果观测值K ，那么有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；

（2）如果观测值K ，那么有99%的把握认为“X与Y有关系”；

（3）如果观测值K ，那么有90%的把握认为“X与Y有关系”；

（4）如果观测值K ，那么就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”，但也不能认为“X与Y没有关系”。

6.一般地，对两个研究对象X和Y，要推断“X与Y有关系”，其基本步骤：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） .

3 2222

二、问题探究：

某校对课外活动内容进行调查，结果整理成下表

课外活动内容

男生

女生

合计

体育

21 6 27 文娱

23 29 52 合计

44 35 79 试用你学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关系”？

三、体验展示：

1. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）

A.若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病; B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病; C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误; D.以上三种说法都不正确. 2．如果有95%的把握说事件A和B有关，那么具体算出的数据满足（

）

Ａ．K23.841

Ｂ．K23.841

Ｃ．K26.635

Ｄ．K26.635

3．统计推断，当______时，有95 ％的把握说事件A 与B 有关；当______时，认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的. 4．为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人。

试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？

四、总结归纳：

1．判断两个分类变量是否有关系的方法有哪些？

2．进行独立性检验的一般步骤是什么？

4 2

独立性检验的基本思想及其初步应用过关检测题

一、选择题

1．等高条形图中条形的高度表示的是

（

）

A．分类变量的频率

B.分类变量的百分比

C．分类变量的样本数

D. 分类变量的具体值

2.下列关于等高条形图的叙述正确的是

（

）

A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系

B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小

C．从二维条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系

D．以上说法都不对

3．在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据，整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是（ ）

A．100个心脏病患者中至少有99人打酣 B．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打酣

C．在100个心脏病患者中一定有打酣的人 D．在100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有

4．关于分类变量x与y的随机变量K的观测值k，下列说法正确的是

（

）

A．k的值越大，“X和Y有关系”可信程度越小

B．k的值越小，“X和Y有关系”可信程度越小

C．k的值越接近于0，“X和Y无关”程度越小

D．k的值越大，“X和Y无关”程度越大

5．检验两个分类变量是否相关时，可以用什么粗略地判断两个分类变量是否有关系（

）

A．散点图

B．独立性检验

C．等高条形图

D．以上全部都可以

6．已知两个分类变量X和Y的列联表如下：

2y1

a c a+c y2

b d b+d 总计

a+b c+d a+b+c+d x1

x2

总计

则下列说法正确的是：

（

）

A．

ad-bc越小，说明两个分类变量X和Y的关系越强

5

B．

ad-bc越大，说明两个分类变量X和Y的关系越强

C．

adbc越大，说明两个分类变量X和Y的关系越强

D．

adbc越接近0，说明两个分类变量X和Y的关系越强

二、填空题

7．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是

8．若由两个分类变量X和Y的列联表中的数据计算得到K的观测值k>3.841，那么我们就有95%的把握认为两个变量有关系，也即在犯错误的概率不超过

的前提下认为“两个分类变量X和Y有关系”．

男

女

9．为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，

442 514 正常

调查结果如右所示：根据上述数据，说明色盲与性别

38 6 色盲

（填“有关”或“无关”）

10．下面是两个分类变量的列联表：

2y1

a 2 b y2

21 25 46 总计

73 27

x1

x2

总计

则表中的a，b处的值分是a=

b=

三、解答题：

11．在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客占总调查人数的而女乘客只有2，其中有一半会晕机，51的人会晕机，经过调查员的计算：有95%以上的把握认为是否晕机与性别有3关，那么被调查的人中最少有多少人会晕机？

12．为了研究患慢性气管炎与吸烟量的关系，调查了228人，其中每天的吸烟支数在10支以上20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人每天的吸烟支数在20支以上的调查者中，患者人数有16人．

（1）根据以上数据建立两个分类变量的列联表；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为患慢性气管炎与吸烟量有关？

6

第一章小结

一、本章知识脉络：

回归分析

统计案例

回归分析

二、知识点拨：

样本点的中心

随机误差

残差分析

建立回归模型的基本步骤

列联表

n（ad－bc）2K＝

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）2判断结论成立可能性的步骤

－1.

回归线直线方程ybxa过

点（x，y），点（x，y）又叫样本点的中心．其中x＝

n

n－1

∑x，y＝∑

yi

.

ni＝1ii＝12.

相关性检验的一般步骤：

（1）作调查统计数据；（2）利用散点图作统计推断；（3）求回归直线方程；（4）作残差分析；

（5）考察相关指数R= R2越

，意味着残差平方和越

，也即模型的拟合效果越好. 3. 一般地，建立回归模型的基本步骤：

（１）

确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

（２）

画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性相关关系等）；

（３）

由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈现线性相关关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；

（４）

按一定规则估计回归方程中的参数（如用最小二乘法）；

（５）

得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检验数据是否有误，或模型是否合适等．

4. 在独立性检验中，对K2的观察值的计算一定要正确运用公式，必须准确，计算无误．

5．独立性检验的一般步骤：

（1）

根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0

；

（2）

根据样本数据绘制2×2列联表；

7 2

（3）

根据公式，计算K2的观察值k；

(4)

比较k与k0的大小，作出统计推断．

三、问题探究：

例1 为预报某种产品的回收率y，需要研究它和原料的有效成分含量x之间的关系，现取了8组观察值xi= 52, yi=228, xx8882i1i1i1i=478, xy=1849,则y对x的回i1ii8归方程是 ( ) A. y=11.47+2.62x B. y= -11.47+2.62x C. y=11.47x+2.62 D. y= 11.47-2.62x 例2. 在调查的480名男人中有38名患者有色盲，530名女人中有6名患有色盲，利用图形来判断色盲与性别是否有关系？

四、体验展示：

1．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2的观察值k=99.9，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）

A．有 99.9℅的人认为该栏目优秀

B. 有 99.9℅的人认为该栏目是否优秀与改革有关

C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为电视栏目是否优秀与改革有关

D.以上说法都不对

2.某校在高二分科时，对学生数学成绩是否优秀和所选科类进行了调查分析，具体数据如下表：

数学优秀

数学不优秀

文科

10 20 理科

13 7 根据表中的数据，判断科类与数学成绩是否优秀有关系，那么这种判断出错的可能性为

．

3.在某产品表面进行腐蚀性刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x相应的一组观察值．如下表：

X(s) 5 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 50 19 60 23 70 25 90 29 120 46 Y(um) 6 (1)

用散点图判断y与x的相关性；

(2)

求y对x;回归直线方程；

(3)

试预测腐蚀时间分别为100s及150s时的腐蚀程度；

(4)

进行残差分析．

五、总结归纳：请针对自己的实际学习情况整理．

8

第一章检测题

一、选择题（每题5分，共50分）

1．炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有（ ）

A．确定性关系 B．相关关系 C．函数关系 D．无任何关系

2．如图所示，图中有5组数据，去掉

组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大（

）

Ａ．E

Ｂ．C

Ｃ．D

Ｄ．A

3．在对一组数据采用几种不同的回归模型进行回归分析时，得到下面的相应模型的相关指数R的值，其中拟和效果较好的是（ ）

A．0.60 B．0.63 C．0.65 D．0.68

4、某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数读数的结果如下：

如果y与x之间具有线性相关关系，那么当消光系数的读数为480时，（ ）

（A）汞含量约为13.27mg/L （B）汞含量高于13.27mg/L

（C）汞含量低于13.27mg/L （D）汞含量一定是13.27mg/L

5.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：

喜欢玩电脑游戏

不喜欢玩电脑游戏

总数

认为作业多

18 8 26 认为作业不多

9 15 24 总数

27 23 50 250(181589)2根据表中数据得到k5.059，因为p(K2≥5.024)=0.025,

27232426则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（

）

A、97.5%

B、95%

C、90%

D、无充分根据

9

6.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量，这里的预报变量是（

）

A. 作物的产量

B. 施肥量

C.试验者

D.降雨量或其他解释产量的变量

7．每一吨铸铁成本yc（元）与铸件废品率x%建立的回归方程yc568x，下列说法正确的是（

）

Ａ．废品率每增加1%，成本每吨约增加64元

Ｂ．废品率每增加1%，成本每吨约增加8%

Ｃ．废品率每增加1%，成本每吨约增加8元

Ｄ．如果废品率增加1%，则每吨成本约为56元

8、独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P(K26.635)0.01表示的意义是（

）

A、变量X与变量Y有关系的概率为1%

B、变量X与变量Y有关系的概率为99%

C、变量X与变量Y没有关系的概率为99%

D、变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%

9．有下列说法：

（1）在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

（2）相关指数R刻画回归的效果时，R越大，说明模型的拟合效果越好；

（3）比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中错误命题的个数是

（

）

A．0 B．1 C．2 D．3 2210．已知x与y之间的一组数据

如右：

则y与x的线性回归方程

x y 0 1 1 3 2 5 3 7 ˆaˆbxˆ必过（

）

yA．（2, 2）

B.

(1.5, 0 )

C.

(1, 2 )

D

(1.5, 4 )

二、填空题（每题5分，共20分）

11 .有下列关系：（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；（5）学生与他（她）的学号之间的关系，其中有相关关系的是____________.

12．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为

10

13．为了调查患慢性支气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表：

患慢性

未患慢性

合计

支气管炎

支气管炎

吸烟

43 162 205

不吸烟

13 121 134

合计

56 283 339

根据列联表数据，求得随机变量K2的观测值k=

14．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：

x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为

三、解答题：（每题15分，共30分）

15.

假设一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：

年龄／周岁

身高／cm 年龄／周岁

身高／cm 3 90.8 10 134.2 4 97.6 11 140.8 5 104.2 12 147.6 6 110.9 13 154.2 7 115.69 14 160.9 8 122.0 15 167.6 9 128.5 16 173.0 （1）作出这些数据的散点图；

（2）求出这些数据的回归方程；

（3）对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？

（4）用下一年的身高减去当年的身高，计算他每年身高的增长数，并计算他从3～16岁身高的年均增长数．

（5）解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系．

11

16 .为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本. （Ⅰ）根据所给样本数据完成下面2×2列联表；

（Ⅱ）请问能有多大把握认为药物有效？

服药

不服药

总计

不得禽流感

得禽流感

总计

12