小结教学活动设计方案

二轮复习教案——概率

一、高考考试基本内容：

离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和平方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，总体特征数的估计，线性回归。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二、高考大纲要求：

⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列

⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

三、高考复习目标

1．

了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。

2．

了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

3．

在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。

四、基础知识再现

（一）随机事件和统计的内容提要

1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。

2．随机变量的概率分布

（1）离散型随机变量的分布列：

ε

…

…

xi

x1

x2

P p1

p2

…

pi

…

两条基本性质①pi0(i1,2,…)；

②P1+P2+…=1。

（2）连续型随机变量概率分布：

由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)；

总体分布密度函数的两条基本性质：

①f(x) ≥0(x∈R)；

②由曲线y=f(x)与x轴围成面积为1。

3．随机变量的数学期望和方差

（1）离散型随机变量的数学期望：

Ex1p1x2p2…；反映随机变量取值的平均水平。

（2）离散型随机变量的方差：

2

D(x1E)2p1(x2E)2p2…(xnE)pn…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。

2

（3）基本性质：E(ab)aEb；D(ab)aD。

（二）离散型随机变量的分布列

随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

离散型随机变量的分布列：如果离散型随机变量的可能取值为xi（i＝1，2，…），由于试验的各个结果的出现有一定的概率，于是随机变量取每一个值也有一定的概率P（＝xi）＝pi，人们常常习惯地把它们写成表格的形式，如：



x1

x2

xi

…

…

P p1

p2

pi

…

…

这种表即为随机变量的概率分布，简称为的分布列。

2．离散型随机变量期望和方差的计算公式

设离散型随机变量的分布列为P（＝xi）＝pi，i＝1，2，…，则：

E＝xi pi，D＝(xi－E)

pi＝xi2

pi－(E)2＝E(2)－(E)2。

i1i1i123．离散型随机变量期望和方差的性质

E (a＋b)＝aE＋b，D (a＋b)＝a2 D。

4．二项分布的期望与方差

若～B (n，p)，则E＝np，D＝np (1－p)。

五、经典例题解析：

例1.

现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

（Ⅰ）求A1被选中的概率；

（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．

解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间

(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，

{(A1，B1，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，

(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，

(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)} 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

用M表示“A1恰被选中”这一事件，则

(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，

M{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}

事件M由6个基本事件组成，

因而P(M)61813．

（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件，

由于N{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件N有3个基本事件组成，

所以P(N)31816，由对立事件的概率公式得P(N)1P(N)11656

例2.

甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221,,且332各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. 解：（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；

(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). (Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

231222201P(0)C3(1),P(1)C3(1),327339P(2)C23(23)(1223)349,P(3)C33(23)3827.所以ε的分布列为

ε

P

ε的数学期望为

Eε=01271292493827232.

0 1271

292

493

827

解法二：根据题设可知～B(3,)

因此ε的分布列为

P(k)C3(因为～B(3,23k23)(1k23)2kCk323k3,k0,1,2,3.),所以E3232

（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

P(C)C103423(23)(1223)121211211332332332,23

(23)(2P(D)C131312)435,由互斥事件的概率公式得

P(AB)P(C)P(D)1034435343534243

解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事

P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). (23)3(.13212)C232323(1213212C12232)34243

例3.

某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

女生

男生

初一年级

373 377 初二年级

x

370 初三年级

y

z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

（3）已知y245,z245，求初三年级中女生比男生多的概率。

解：（1）∵x20000.19

∴x=380 （2）初三年级人数为y+z=2000-(373+377+388+370)=500，

现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：

482000×500=12名

（3）设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生男生数记为(y,z)：

由（2）知y+z=500，且y,z∈N，

基本事件空间包含的基本事件有：

(245,255)、(246,254)、(247,253)、……(255,245)共11个

事件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个

∴P(A)=511；

例4为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。

（1）求该总体的平均数；

（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

解：（Ⅰ）总体平均数为

16(5678910)7.5．

（Ⅱ）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．

(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，9)，(8，10)，(9，10)．共15个基本结10)，(8，果．

9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)．共有事件A包括的基本结果有：(5，7个基本结果．

所以所求的概率为

P(A)715．

12例5.

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2次均未命中的概率为116与p，且乙投球. （Ⅰ）求乙投球的命中率p；

（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得

1PB解得p3421p2116

3412,PA或54（舍去），所以乙投球的命中率为

34,PB（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知PA可能的取值为0，1，2，3，故

12,PB14

1P0PAPBB2412132

P1PAPBBC2PBPBPA1732124122341412

3P3PAPBB2412932

1532P21P0P1P3

的分布列为



0 13213211

732273215322

315329323

932P

的数学期望E02

例6某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得23)分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各1~i(i1，，次射击结果互不影响．

（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．

解：（Ⅰ）设该射手第i次击中目标的事件为Ai(i1，，23)，则P(Ai)0.8，P(Ai)0.2，

P(AiAi)P(Ai)P(Ai)0.20.80.16．

（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．

的分布列为



P

0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 E00.00810.03220.1630.82.752