3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计第一课时

第3讲

基本不等式及其应用

一、选择题

1.下列不等式一定成立的是(

) 1A.lgx2＋4>lg x(x>0) C.x2＋1≥2|x|(x∈R) 1B.sin x＋sin x≥2(x≠kπ，k∈Z) D.1＜1(x∈R) x＋12111解析

当x＞0时，x2＋4≥2·x·2＝x，所以lgx2＋4≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有答案

C 2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(

) A.[0，2]

B.[－2，0] D.(－∞，－2] yx＋y1＝1，故选项D不正确. x2＋1C.[－2，＋∞)

解析

22答案

D x＋y≤2＋2＝1，所以2x1≤4，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2. b4a3.(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则1＋a·1＋b的最小值为(

) A.7

B.8

C.9

D.10 b4aa·b＝9，当b4ab4a解析

∵a，b都是正数，∴1＋a1＋b＝5＋a＋b≥5＋2且仅当b＝2a>0时取等号.故选C. 答案

C 4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(

) 11A.ab≤4

C.ab≥2

11B.a＋b≤1 D.a2＋b2≥8 1解析

4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，ab≥

111a＋b4222，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a＋b＝(a＋b)4ababab－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立. 答案

D 125.(2015·湖南卷)若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为(

) A.2

B.2

C.22

D.4 12解析

依题意知a＞0，b＞0，则a＋b≥22a时，“＝”成立.

22212＝，当且仅当aba＝b，即b＝ab1222因为a＋b＝ab，所以ab≥，即ab≥22，

ab所以ab的最小值为22，故选C. 答案

C 6.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(

) 4A.3

5B.3

C.2

5D.4

解析

由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2. 答案

C 11127.(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝a＋b，则a＋b的最小值为(

) A.4

B.22

C.8

D.16 11a＋b解析

由a>0，b>0，a＋b＝a＋b＝ab，得ab＝1，

12则a＋b≥2答案

B a8.(2017·福州六校联考)已知函数f(x)＝x＋x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(

) 1A.2

3B.2

C.1

D.2 12122·＝22.当且仅当＝，即a＝abab2，b＝2时等号成立.故选B.

a解析

由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋x＋2≥2a＋2，当且仅当x＝aa时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋x＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等2－2a＝0，号.所以解得a＝1. 2a＋2＝4，答案

C 二、填空题

9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________. 解析

∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，

解得ab≥3，即ab≥9. 答案

[9，＋∞) 1110.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则m＋n的最大值为________. 解析

∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，

nm1111∴m＋n＝－(m＋n)m＋n＝－2＋m＋n≤－2－2111＝n＝－2时，m＋n取得最大值－4. 答案

－4 11.若对于任意x＞0，x解析

2＝x＋3x＋1x≤a恒成立，则a的取值范围是________. x2＋3x＋11nm当且仅当mm·n＝－4，1，

3＋x＋x1因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，

x111则≤＝13＋25，

3＋x＋xx11即2的最大值为5，故a≥5. x＋3x＋11答案

5，＋∞



12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元. 解析

设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，k2则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝x(k2≠0)，

∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，

20∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x＋x万元，

20∵5x＋x≥220205x×x＝20，当且仅当5x＝x，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元. 答案

2

20 31m13.已知a>0，b>0，若不等式a＋b≥恒成立，则m的最大值为(

) a＋3bA.9

B.12

C.18

D.24 31m31解析

因为a>0，b>0，不等式a＋b≥恒成立，所以m≤（a＋3b）a＋ba＋3b9ba31a＋b＝6＋＋≥6＋2，因为(a＋3b)·abmin取等号，所以m的最大值为12. 答案

B 14.(2017·石家庄调研)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则9A.2

1C.22＋2

Sn＋8的最小值是(

) an

7B.2

1D.22－2

n（n＋1）.

29baa·b＝12，当且仅当a＝3b时解析

易知an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝

n（n＋1）＋82Sn＋8161∴a＝＝2n＋n＋1

nn1≥22169n·n＋1＝2，当且仅当n＝4时取等号，

Sn＋89因此a的最小值为2. n答案

A 15.(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，则ab的最大值为________. 解析

由题意知a>0，b>0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a＋b)＝6，则6≥2ab＋4ab(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝ab(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0

1 1916.正数a，b满足a＋b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________. 19b9a19解析

因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)a＋b＝10＋＋≥10abab＋29＝16，

由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立.

又x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6. 答案

[6，＋∞)