三 反证法与放缩法教案2

反证法与放缩法

目的要求：掌握证明不等式的基本的解法之----反证法与放缩法。

重点难点：

掌握反证法和放缩法的使用情景和思考过程

教学设计：

（一）、反证法

一、引入：

前面我们曾经研究过不等式的基本性质.可以发现,6条性质中,有的可以由实数大小关系的基本事实直接推出.例如,对于性质3"如果ab,那么acbc",我们可以这样来证明:由ab得ab0,于是acbcab0,所以acbc.6"如果ab0,那但对于性质么nanbnN,n2"我们很难从条件和已有事实直接推证出结论.这时可以采用如下方法:n假设nanb不成立,那么必有anb,或nanb.如果nanb,那么ab;如果nanb,那么由性质5有ab.这些都与ab0矛盾.于是,nanb成立.

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步

断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、范例分析：

例1 已知x,y0,且xy2,试证证明:假设1x1y,中至少有一个小于2.yx1x1y,都不小于2,yx1x1y即2,且2,yxx,y0,1x2y, 1y2x,2xy2(xy)xy2,这与已知条件xy2矛盾.1x1y与中至少有一个小于2yx

例2 已知a,b,c为实数,abc0,abbcca0,

abc0,求证:a0,b0,c0.分析要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰,于是考虑采用反证法.假设a,b,c不全是正数,这时需要逐个讨论a,b,c不是正数的情形.但注意到条件的特点(任意交换a,b,c的位置不改变命题的条件),我们只要讨论其中一个(例如a),其他两个(例如b,c)与这种情形类似.证明:假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数,

不妨先设a0,下面分a0和a0两种情况讨论.(1)如果a0,则abc0,与abc0矛盾,a0不可能.(2)如果a0,那么由abc0可得bc0,又abc0,bca0,于是abbccaa(bc)bc0,这和已知abbcca0相矛盾.a0也不可能.综上所述a0,同理可证b0,c0,所以原命题成立.

反证法主要适用于以下两种情形：

(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形. （二）放缩法

一、概念：

证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. 通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法. 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

二、范例分析：

例3 已知a,b,c,dR,求证1证明: a,b,c,d0,aaabcdabdbbabcdbcaccabcdcdbddabcddac

abcd2abdbcacdbdac

得

把以上四个不等式相加abcdabcd

abcd . 即abcdabdbcacbddacabcd

abcd12

abdbcacbadac注：

用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当.例如上述过程中,如果把和式的4项分

母依次缩为a,b,cd,那么和放大为4,显然太大了.

|ab||a||b|

例4已知a,b是实数,求证.

1|ab|1|a|1|b||ab||a||b||a||b|分析将不等式左边用替代,得到,1|a||b|1|a||b|1|a|1|b||ab||a||b|这个不等式是很容易证明的,所以,如果能证明,那么原不等式1|ab|1|a||b|就可以得到证明.

证明因为0|ab||a||b|,|ab|1|a||b|所以11|ab|1|ab|1|a||b||a||b|.1|a|1|b||a||b|1|a||b|1|a||b|

|ab||a||b|在上述过程中,我们证明了.1|ab|1|a||b|

x,x0,,那么从函数的观点看,只要证明函数fx为增1x函数,就可以由0|ab||a||b|得到上式成立,而fx为增函数是容易证的.

如果令fx

放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,

即AC,后证CB.常用的放缩技巧有:

(1)舍掉(或加进)一些项;子或分母;

(2)在分式中放大或缩小分(3)应用基本不等式进行放缩.如

12312①(a)(a);

24211112

②1,,,22k(k1)k(k1)kkkkk1

12(以上k2且kN)

kkk1

（三）小结：

上面介绍了证明不等式的几种常用方法除以上方法外,还有其他一些方法,如在第

四讲中要介绍的数学归纳法等.应该注意,不等式证明与数学上所有其他证明问题

一样,没有一种适用于所有问题的统一方法,应该对具体问题的特点作具体分析,选

择合适的方法.（四）作业