二 一般形式的柯西不等式第二课时教学设计

一般形式的柯西不等式

一、教学目标

（一）知识与能力

（1）理解柯西不等式的几何背景

（2）认识一般形式的柯西不等式

（3）学会使用三维形式的柯西不等式

（二）过程与方法

（1）让学生经历从“几何图形”到“代数表达式”的数形转化的过程；

（2）让学生经历代数表达式“变形”的过程；

（3）让学生对比柯西不等式和均值不等式两种证明方法的特点。

（三）情感态度与价值观

（1）让学生在一步一步转化问题，化繁为简的过程中体会探索的乐趣；

二、教学重难点

（一）教学重点：三维形式的柯西不等式

（二）教学难点：

（1）将代数表达式“变形”为合理的形式

（2）使用三维形式的柯西不等式解决问题

三、教具准备

电脑、投影仪、PPT 四、教学过程

（一）几何背景

柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α

∙

β| 令(a1,a2,a3)，(b1,b2,b3)

22222则||||

a1

a2a3b12b2b3

a1b1a2b2a3b3

22222∴ (a1a2a3)(b12b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2

等号成立当且仅当

a1a2a3

时

b1b2b3这就是三维形式的柯西不等式

由此猜想：

22 (a1a222an)(b12b22bn)(a1b1a2b2anbn)2

这就是一般形式的柯西不等式

（二）三维柯西不等式的应用

01．已知a，b，c0，a2b2c21，求2a3b4c的最大值

解：(2a3b4c)2(a2b2c2)(4916)

∴(2a3b4c)229

∴2a3b4c29

等号成立当且仅当abc时

234即a229，b329，c429时

292929∴2a3b4c的最大值为29

02．已知a，b，c0，abc1，求证：1119

abbcca2

证：111

abbcca111(ab)(bc)(ca)1

abbcca21ab1bc1ca1

abbcca2211119

22

证：19(ab)219(ab)3

ab4ab419(bc)219(bc)3

bc4bc419(ca)219(ca)3

ca4ca4∴11129(abc)9

abbcca4∴1119

abbcca2

2

22203．已知a，b，c0，abc1，求证：bca1

abc

222bca证：

abc222bca(abc)

abcbacbac

abc2bca1

2222

222bca证：

abc222bca(a)(b)(c)1

abc2222ba2cb2ac1

abc2(bca)11

22204．已知a，b，c0，abc1，求证：cab1

abbcca2

222cab证：

abbcca222cab(ab)(bc)(ca)1

2abbccac2aba2bcb2ca1

abbcca22cab1

21

22

22证：cab2cabc

ab4ab4a2bc2a2bca

bc4bc4b2ca2b2cab

ca4ca4222∴cab12(abc)abc

abbcca4222∴cab1

abbcca2

05．已知a，b，c0，abc1，求证：12121227

abc证：121212

abc1

121212(111)3abc1111

3a2b2c221111

3abc21111(abc)

3abc2131a1b1c

abc2222111127

33证：1227a27a31227a27a27

aa127b27b33127b27b27

b2b2127c27c33127c27c27

c2c2∴12121272(abc)273

abc2∴12121227

abc

（五）小结

灵活运用柯西不等式，可以解决很多问题，相比函数的解决方式，柯西不等式往往能够大大地简化运算。

掌握它的结构特点，灵活的变换形式，达到解决问题的目的。这个过程是思维训练的绝佳途径。值得同学们认真地学习它。