1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球名师教学设计1

《球的切接问题》一轮复习

高二数学 赵琪

一、教学设计

近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。

定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，

则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. （一）球与柱体的切接：

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1. 球与正方体

（1）正方体的内切球，

位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.

（2）正方体的外接球，

位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. （3）正方体的棱切球，

位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. 2.球与长方体

结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．

小试牛刀：

1.正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为____________ 2.（2017全国卷2T15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则该球的表面积为______ 3.（2016全国卷2T4）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_________. (二) 球与锥体的切接

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.

构造法：

例1：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为_________。

BDCD，变式：已知三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，且AB面BCD，AB2,BDCD1

，则球O的体积为____________. 例2：求棱长为a的正四面体的外接球的表面积。

例3：三棱锥A-BCD中，AC=BD=13，ADBC5，ABCD25，求三棱锥A-BCD外接球表面积。

思考与总结：什么样的三棱锥可以构造成正方体或长方体？

①

三条侧棱两两垂直的正三棱锥

②

一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥

③

正四面体

④

对棱相等的三棱锥

小试牛刀：

P113练习2：2018·沈阳市模拟

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,ABAC，AA1=12，则球O的表面积为__________.2.

确定球心位置法

例4：在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，求四面体ABCD的外接球的体积。小试牛刀：

P113练习3：2017·全国高考一卷T16已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA平面SCB，SA=AC,SB=BC,VS-ABC=9,则球O的表面积为_______.思考与总结：如何确定球心位置？

①

正棱柱外接球的球心在上下底面中心的连线的中点

②

正棱锥外接球的球心在其高上

3.特殊的三棱锥：正四面体

（1）

正四面体的内切球：

位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h，内切球的半径为R，这时有（2）

正四面体的外接球：

位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为，高为；外接球的半径为，这时有；

（可用正四面体高减去内切球的半径得到）

（3）

正四面体的棱切球，

位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为，高为；棱切球的半径为，这时有R=2a

4(三) 浅谈收获

构造法、确定球心位置法

二、课后反思

对于高考一轮复习，应着重于知识点的整合重现、高考题链接、总结提升。更应该重视基础，因材施教，着力于学生现阶段解决问题的能力而做教学设计。

本节课的知识《球的切接问题》对于大部分学生来讲都是比较困难的，本节课的重心在前半部分，对“构造法”的讲解是重点，力争在课堂上让学生得到充分的训练。特别是针对文科实验班学生，只要求熟练掌握最基本的“构造法”，所以还需要课后多布置习题多反复训练加以强化。而对文科尖子班中的中上层学生，可以体验“确定球心位置法”解题。