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数列求和导学案

东沟中学

张仁东

教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式；

2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．

教学重点：

等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用．

教学难点：非等差、等比数列的求和．

教学方法：启发式、讲练结合．

教学过程：

一、预习检测

1、等差数列前n项和Sn= , 等比数列前n项和Sn= 。

2、111241 。

n23、数列14、sin211,3,39,2n11的各项和为 。

3n1sin22sin23sin288sin289的值是 。

二、合作、探究

111S(2)(4)(2n问题1 求和

n

n

)

242

变式训练1

求和1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+2n-1）

1

S问题2 已知，

n1111233445(n1)(n2)求Sn

变式训练2

求

1111335571的值。

2n12n1n问题3 求数列n1前n项的和

。

2

变式训练3 求和：sn3572482n1

n2

三、课堂反馈

1、已知数列an的通项公式为an1，则前n项的和为 。

n(n1)2sa1a22、求和：nann

3、（选做）

求Sn12x3x24x3nxn1的值

四、课堂小结

五、作业： P62 5（1）（2）、12、13

2

题型

1 公式法求和．

题型2 倒序相加法求和．（此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的）

题型3 错位相减法求和．

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }，{ bn

}分别是等差数列和等比数列．

题型4 裂项相消法求和．

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．

题型5 分组求和法．

有一类数列，既不是等差数列，又不是等比数列，若将这类数列适当拆开，则可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其相加，即可得出原数列的和．

四、数学运用

－123n例1 已知log3x＝log3

，求xxxx的前n项和．

2解析

由log3x＝－11

log2x＝－1x＝

．

log232由等比数列求和公式得

Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn

x(1xn)

＝

1x

3

11(1n)2

＝21121＝1－n．

2例2 求数列a，2a2，3a3，4a4，…，nan，…(a为常数)的前n项和．

解析

若a＝0，

则Sn＝0．

若a＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝

若a≠0且a≠1，

则Sn＝a＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋

nan，

∴aSn＝

a2＋2 a3＋3 a4＋…＋nan+1，

∴(1－a) Sn＝a＋

a2＋a3＋…＋an－nan+1

aan1nan1．＝

1a

n(n+1)2

．

aan1nan1(a1)．

∴

Sn=

2(1a)1a

当a＝0时，此式也成立．

∴Sn＝

n(n1)(a1)，2aan1nan1(a1)．(1a)21a点评

数列nan是由数列n与an对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况．而且对于应用等比数列求和时，一定要先注意公比的取值．

例3 求数列1111，，，…，，…的前n项和S．

351324n(n2)分析

∵1111=(），则对数列中每一项分解后即可得出结果．

n(n2)2nn21111=(），

n(n2)2nn2解析

∵

4

111111

∴

Sn=(1)()()

2324nn21111)

=(122n1n2311

=42n22n4．

1111例4 求数列1，3，5，…，（2n-1）＋

n,…的前n项和. 4822111解

Sn[135(2n1)]+(n)

24211(1n)1(2n1)2

n212121n21n

2五、要点归纳与方法小结

数列求和的常用方法：

1.

公式法．

直接应用等差、等比数列的求和公式；

2. 倒序相加法：如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法．

3. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求．

4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：1

，n(nk)

5

11

，

，等等．

(2n1)(2n1)nkn5. 分组求和法：需要熟悉一些常用基本式的特点与规律，将同类性质的数列归于一组，便于运用常见数列的求和公式．

6