复习参考题教案设计（一等奖）

复习

基本不等式与最值问题

知识梳理

1.基本不等式

a+b≥ab(a≥0,b≥0)，变式ab≤(ab2)(a≥0,b≥0),当且仅当a=b时，等号成立. 22.重要不等式

a2+b2≥2ab(a,b∈R) 3.用极值定理来求函数最值的思想

已知x,y∈R+，则

S2（1）若x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值; 4（2）若x·y=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2P. 知识导学

基本不等式又叫均值不等式，利用基本不等式解题时，要注意创设应用基本不等式的条件，常用的解题技巧是合理拆分项或配凑因式，而拆、凑的目的在于满足应用“和为定值或积为定值”，在应用时必须注意“一正、二定、三相等”，而往往我们只关心前两点，却忽视了等号成立的条件，导致错误出现.对于极值定理，可按口诀“和定积最大，积定和最小”记忆. 疑难突破

1.基本不等式是求最值的一个重要方法,但是必须满足某种条件才能使用均值不等式求最值,那么满足什么条件才能使用基本不等式求最值? 剖析：利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正、二定、三相等”.

“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案. “二定”：即含变量的各项的和或者积必须是常数

要求a+b的最小值，ab必须是定值.求ab的最大值,a+b必须是定值. “三相等”：具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值. 2.在利用基本不等式求最值时,凑定值是很重要的一步,但是很多时候都是因为取不到定值而苦恼,那么,在求最值时有哪些技巧可以使用? 剖析：利用基本不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形.在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几种: (1)将所得出的正函数平方，然后再使用基本不等式求解.有时候直接带有根号的定值不容易看出来,可以先平方再找最值,得出结果开方即可.但是要注意平方前后的正负问题; (2)有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数后，再使用基本不等式求解.主要是一些比较复杂的式子,使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁,也更容易得出定值; (3)有些函数在求最值时，需要几次使用基本不等式进行放缩才能达到目的.放缩时要保证几个等号能同时成立; (4)有时候使用基本不等式的变形,要根据题目的特点，选用合适的公式.例如ab≤(ab2)、2a2b2ab2≥()等. 22

典题精讲

含有一个未知数

例1（1）若函数f(x)=x+9/x-5，当x>5时，求函数的最小值

x<5 （2）已知0＜x＜1，求函数y=x(1-3x)的最大值; 3思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个积为定值，

可考虑把括号内外x的系数变成互为倒数；

（2）中需构造某个和为定值，考虑把括号内外x的系数变成互为相反数。

另解：利用为此函数在给定区间求值域的方法

含有两个未知数

例2（1）若正数a，b满足ab=a+b+8，求ab与a+b

（2）若正数a，b满足a+b=1，求y=1/a+4/b的最小值

（3）若实数x、y满足4x2+y2+xy=1求2x+y 思路分析：（1）分别把ab与a+b看做一个整体利用基本不等式进行整体代换

（2）“1”的巧用

（3）将解析式进行构造成2x+y的形式

另解：利用函数的思想，方程有根

课堂小结

学生总结教师适时补充

学以致用1.若正数x、y满足2x+y=3xy,求函数2x+3y

2.若x>-1，求y=（x+5）(x+2)/(x+1)