小结课堂实录及点评

3.4.1基本不等式教学设计

淮阳中学数学组 杨欢

一、教学目标

1．通过用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，引导学生从几何图形中获得一个重要不等式，进而引出基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合1,2引导学生用基本不等式求最值。

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，引导学生利用基本不等式解决简单的求最值问题；

难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程：

1．动手操作，几何引入

上课后首先在多媒体上显示一个问题，你能用四个全等的直角三角形拼成一个风车的图案吗？然后将事先准备后的道具放在黑板上，找一个同学上黑板尝试拼图，这样一来让所有同学都被这个有趣的问题吸引住了，正所谓兴趣是学生最好的老师。

将风车稍稍改动，变成下边的第一个图，然后提出两个问题：

第一：四个三角形面积和是多少？

第二：正方形的面积是多少？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，

那么正方形的边长为a2b2．于是，

4个直角三角形的面积之和S12ab，

正方形的面积S2a2b2．

由图可知S2S1，即a2b22ab．

2．引导学生们证明基本不等式

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

若a,bR，则ab2ab．

证法：

22a2b22ab(ab)20

a2b22ab，当ab时取等号．

（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）

思考:如果a0，b0，我们用a、b分别代替a、b，可得到什么结论？

可得ab2ab，通常我们把上式写作：ab

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．

证明（分析法）：由于a,bR，于是

要证明 ab(a>0,b>0)2

abab，

2只要证明 ab2ab， 即证 ab2ab0，

即 (ab)20，该式显然成立，所以abab，当ab时取等号．

2（如果把分析法过程倒置会得到综合法证明过程）

得出结论

基本不等式: 若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

深化认识：

称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式abab为a,b的算术平均数

2ab又可叙述为：

2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

3.基本不等式求最值的原理：

积定和最小，和定积最大，另外要牢记取得最值的条件一正二定三等缺一不可

4．应用举例，巩固提高

例1：x,y为正实数，若xy=100,求x+y的最小值。

例2：x,y为正实数，若x+y=100,求xy的最大值。

教师板演讲解时要强调口诀和可以取到最值的条件。

5.练习：

练1. x0时，当x取什么值时，x1的值最小？最小值是多少？

x变1：若x3，求yx1的最小值. x3找一名同学上台板演，之后教师点评

6．归纳小结，反思提高

基本不等式：若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．

7．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100习题A组1、2题