1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用ppt配用优秀获奖教案

1.2.1 《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

重庆市开州区陈家中学

余静

【教材分析】

本节课是人教A版（选修）1—2第一章第二节的内容．在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性，回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。

在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。

学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。

【教学目标】

1.知识与技能：通过对典型案例的探究,了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能解决实际问题。

2.过程与方法：通过设置问题，引导学生自主发现、合作探究、归纳展示、质疑对抗，使学生成为课堂主体。

3.情感、态度与价值观：通过本节课学习，让学生体会统计方法在决策中的作用；合作探究的学习过程，使学生感受发现、探索的乐趣及成功展示的成就感，培养学生学习数学知识的积极态度。

【教学重点】

了解独立性检验的基本思想及实施步骤。

【教学难点】

独立性检验的基本思想；随机变量K的含义。

【学情分析】

本节课是在学习了统计、回归分析的基本思想及初步应用后，利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，为以后学习统计理论奠定基础。

【教学方式】

①

用学案辅助教学

由于本节内容较散，理论部分较难，故需教师精心设计学案，提前发放给学生，以提高学生的预习效率. ②

“问题串”为主，“讲授式”为辅的教学模式

2

【教学过程】

情境引入，提出问题

上课！同学们好！请坐！

我们经常听到这样的结论：吸烟会容易得肺癌；身高会受到遗传因素的影响；是否喜欢理科和性别有关。等等。

那么

问题1：这些结论是怎样得出的呢？

问题2：你有“多大把握”认为这些结论是正确的？

为了回答这两个问题，就需要同学们认真学习本节课的内容：统计学中的独立性检验的基本思想及其初步应用。

问题: 数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足。

一、有关概念

1. 分类变量——变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量

例如，性别，这个变量有什么取值呢？

又比如，宗教信仰，国籍等。

再看一个例子：案 例：某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人。

调查结果：吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病，183人未患呼吸道疾病；不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病

不患肺癌

患肺癌

274 183 457 21 37 58 总计

295 220 515 不吸烟

吸烟

总计

这个表格是为了调查吸烟是否对患肺癌有影响的一个调查表，那么在这里“是否吸烟”和“是否患肺癌”都是分类变量，而且这个表格中还给出了分类变量的频数，比如说……

这个表格在统计学中又称之为什么？

2.列联表——像表中这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表

在高中阶段我们只研究像下表中那样的2×2列联表

不患肺癌

患肺癌

总计

42 7817 2 不吸烟

7775

观察：

吸烟

总计

2099 9874 49 91 2148 9965 （2×2列联表）

问题3：在这个表格中的据能告诉我们什么样的结论？

我们不是医生，对于外行人来说，这个有关医学的列联表中的数据我们还是看不太懂。但是我们都是“数学小专家”，所以我们可以采用数学方法对这些数据进行一些处理。

方法一：（1）在不吸烟者中患肺癌的比重是多少？ （2）在吸烟者中患肺癌的比重又是多少？ 你的结论是： 也就是说，通过这组统计数据我们可以直观的感受到了吸烟与患肺癌有很大可能有关系。

这组数据如果放到图表中，更能直观的感受到它们的差异。

方法二：等高条形图

从这个等高条形图中，我们更直观地看出吸烟者中患肺癌的比重与不吸烟者中患肺癌的比重有明显差异，从而说明吸烟与患肺癌很有可能是有关系的。

思考：这种判断可靠吗？以上方法只回答了我们课前提出的问题1，对于问题2中的“把握度”问题还没有解决，也就是说，你能有多大把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

什么是“把握度”？

例如，有甲、乙两位天气预报员向我们作出预报：

甲说：明天一定下雨，请大家出门要带备雨具；

乙说：我有95%的把握判断明天会下雨，请大家做好出门防淋雨的准备。

听了预报员甲和乙的天气预报，第二天我们都带着雨具出门，结果，意外的是天一滴雨都不下，那么，同学们

3 100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌

认为甲和乙这两位预报员谁的预报更聪明一些？谁会挨骂？为什么？

这就是把握度问题，这个“把握度”我们可以采用统计学的方法估计出来，如何计算呢？这就是本节课我们重点要学习的内容。

二、独立性检验的思想

1、思想

我们知道上面例子表中的数据是从某次调查中随机抽样得来的，带有随机性，为了使统计数据更具一般性，我们把表中数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表： 吸烟与患肺癌列联表

不吸烟

吸烟

总计

假设H0:吸烟与患肺癌没有关系。

则不患肺癌

a c a+c 患肺癌

b d b+d 总计

a+b c+d a+b+c+d bd

（为什么？）

abcd b(cd)d(ab)

bcbdadbd

bcad

bcad0或adbc0

即

bcad0

因此，adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；

adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，统计学中构造一个随机变量 n(adbc)2

，

其中nabcd为样本容量。

K(ab)(cd)(ac)(bd)2显然K的大小变化与adbc是同步的。

也就是说，K

越小，|ad-bc|也越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；

K

越大，|ad-bc|也越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 那么上面例子，在H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”的条件下K应该很小

4 2222

把表中的数据代入K公式，计算得到K的观测值为

229965(777549422099)2k56.632 78172148987491思考：这个值是大还是小？评价标准是什么？到底能告诉我们什么呢？（讨论）

事先给定评价标准（临界值），例如，6.635 2那么K的观测值k56.632远远大于6.635 而统计学家经过研究后发现，在假设H0成立的情况下，

P(K26.635)0.01 (如何理解？) 即在H0成立的情况下，K的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件。也就是说H0这个假设是几乎不可能发生的

“H0发生”(即吸烟与患肺癌没有关系)的概率是0.01，

而“H0不发生”(即吸烟与患肺癌有关系)的概率是0.99 因此，我们可以有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系。

这个99%就是我们课前提到的一个“把握度”，这个“把握度”会因事先给定的临界值（评价标准）不同而有所不同。经过统计学家多年的研究，总结得出如下临界值表：（如何查表？）

解：假设2P(K2k0)

0.50 k0

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 H0：吸烟与患肺癌没有关系

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 K2的观测值为

9965(777549422099)2k56.632

78172148987491）0.01

根据临界值表可知P（K6.635而56.632远大于6.635，所以有理由判断H0不成立，

即有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系。

思考：上面例子中还可以选用哪个临界值（评价标准）？这时的“把握度”又是多少？如何下结论？

5 2

上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。这个检验过程就是独立性检验的思想。

22、步骤：

（1）写出2×2列联表，确定临界值k0；（k0可事先给定或默认值2.706）

（2）利用公式计算K的观测值k；

（3）查临界值表，比较k与k0的大小得出结论。

2三、独立性检验思想的初步应用

例1、在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系。能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？

解：根据题目所给数据得到如下列联表：

依题意查表可得临界值k0=6.635 根据联表中的数据，得到

秃顶

不秃顶

总计

患心脏病

不患心脏病

214 451 665 175 597 772 总计

389 1048 1437

1437(214597175451)2K16.3736.635.3891048665772

2 因此，在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“秃顶与患心脏病”有关系，

即有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”。

讨论：这种独立性检验的思想和以前我们学习的哪种证明方法比较类似？试比较一下这两种原理。

反证法原理与独立性检验原理的比较：

反证法原理

在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立

在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。

肺病这两个分练习：

1、在吸烟与患独立性检验原理

类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）

6

A、若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关

系，那么在100个吸烟的人中必有99个患肺病

B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病

C、若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推理出现错误

D、以上三种说法都不对

2. 下面是一个2 Ｘ2 列联表，

则表中a,b的值分别是（ ）

A. 94,96 B. 52,50 C. 52,54 D. 54,52

2、P97 习题3.2 3、P97

练习

不优秀

优秀

总计

不健康

a 2 b 健康

21 25 46 总计

73 27 100 四、课堂小结

1、理解分类变量，会作列联表及等高条形图

2、了解独立性检验的思想

五、板书设计

3.2.1独立性检验的思想及其初步应用

问题1：这些结论是怎样得出的呢？

问题2：你有“多大把握”认为这些结论是正确的？

一、有关概念 假设H0：吸烟与患肺癌没有关系 例1、

1、分类变量 则bd 解：假设H0：

abcd2、列联表 b(cd)d(ab) 根据已知…

二、独立性检验的思想 bcbdadbd

1、思想 bcad

2、步骤 bcad0或adbc0

即

bcad0

7

n(adbc)2 K

(ab)(cd)(ac)(bd)2 P(K26.635)0.01

8