小结优质教案设计

《基本不等式与最大（小）值》

设计理念

新课标要求让学生经历数学知识的形成与应用过程；鼓励学生自主探索与合作交流；关注学生数学思维能力的发展；与时俱进地认识“双基”，抓好数学基本知识和基本技能的教学；注意数学知识之间的联系，重视数学思想方法的联系。

教学目标

⑴知识目标：能灵活运用基本不等式求最值

⑵能力目标：通过动手实践探索，，培养了学生的学习兴趣；同时也加强了其动手能力

⑶情感目标：在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度．

重点、难点

重点：基本不等式的具体应用

难点：如何灵活变形

教学用时

：1课时

教学过程与方法

（一）知识巩固

1．复习基本不等式有关知识

- 1 -

abab若a＞0,b＞0;则abab

22（注意条件及当且仅当ab时等号成立）

（二）探索与研究：

2．引入

简单分析引导：当ab有定值时，ab有最大值；

当ab有定值时，ab有最小值；

最值定理：当两个正数的和有定值时，它们的积有最大值；

当两个正数的积有定值时，它们的和有最小值

3例1：若0＜x＜时，求y=2x(3-2x)的最大值. 2分析：依题可知，2x＋(3-2x)＝3为定值，且2x＞0，(3-2x)＞0；所以可以利用基本不等式。

3解：∵0＜x＜，∴2x＞0，(3-2x)＞0；

2292x(32x)由基本不等式可得，2x(3-2x)≤

24∴y2x32x9

49330,时，ymax

4422当且仅当2x32x，即x（板书格式）

3变式：若0＜x＜时，求y=x(3-2x)的最大值. 2引导分析：依题可知，x＋(3-2x)不是定值，要把原等式配凑为2y=2x(3-2x)，此时2x＋(3-2x)＝3为定值，可以利用基本不等式。

（让学生体会配凑的思想）

51例2．已知x，求函数y4x2的最大值。（学生自行思考回答）

44x51（4x2）分析：因为不是常数，所以对4x2要进行拆项（添），配凑成积4x5为定值。

10

解：∵4x50,4x5132135

∴y4x54x5当且仅当x35,时，取等号。

24- 2 -

5”

410，不能直接利用基本不等式；要变形为分析：此时要注意4x50,4x51y[(54x)]3。（注意不等号的方向）

54x练习：课后习题:在下列函数中，最小值是2的为（

C）

1A．

y=x

（

x可能小于0）

x变式1：将上述条件变为“xB．

y=3x3x

C．

y=lgx1(1x10)（当且仅当x=10时取等号,但不在定义域内，等lgx号取不到）

1(0x)（同上）

D．

y=sinxsinx2

由上述例题及练习总结：利用基本不等式求最值时必须要做的三步：一正，二定，三相等。

x28变式2：y

(x>1)的最小值

（学生自行思考回答）

x1x21999x1x12

分析：原式可变形为yx1x1x1例3：x0,y0

①

若2x5y20，求xy的最大值

变式1：求ulgxlgy的最大值

变式2：求ulog1xlog1y的最小值

22②

若lgxlgy2，求11的最小值

xy③

若x2y1，求解：①

11的最小值③

xyx0,y0

2x5y2x5y10xy2- 3 -

2x5y2010xy20，即xy10

当且仅当2x5y时等号成立

2x5yx5

解得

2x5y20y2所以当x5,y2时，xy有最小值

ulgxlgylgxylg101

u的最大值为1（同理可得变式2）

②分析：由已知可得，xy100为定值，利用基本不等式可解. ④

分析：可考虑整体代换的思想，法一：1111＝()(x2y)＝1xyxy＋2yx112，即可利用基本不等式；法二：＝xyxyx2yx2y2yx12

xyxy（让学生体会整体代换的思想）

变式：x0,y0,且

141，求xy的最小值。（巩固整体代换的思想）

xy小结：1。利用基本不等式求最值时一定要做到:一看,二定,三相等.

2．灵活应用配凑、整体代换的思想

作业：《优化作业本》P45

1－10

课后反思：

本节课只要是学习基本不等式有关最值的问题，在课堂中主要以- 4 -

学生探究为主。很好地调动了学生的积极性及学习数学的兴趣；培养了学生的动手能力。但是，题目的选取的涉及面较窄。

集体评议：

1．

教学设计符合新课程教学理念，能培养了学生自主探究的能力；

2．

讲解清晰，能起到了很好的引导与启发的作用；

3、

题目的选取的涉及面较窄。

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