复习参考题优秀教学设计

《利用基本不等式求最值》教学设计

【高考明确目标】

1.了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

【高考考试类型】

1.利用基本不等式求最值

2.求参数的取值范围（恒成立）

3.基本不等式是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档。主要融合于函数、三角函数与解三角形，解析几何等问题中解决最值问题。

（通过课前明确目标，了解高考的考试方向和命题原则，做到心中有考纲和考题）

【夯实双基】（学生课前预习夯实双基，了解自己该知识还有那些地方欠缺，以便复习时有针对性）

a＋b（a0,b0)

知识点一

基本不等式

：≥ab2（1）等号成立的条件：当且仅当_a=b__时取等号．

（2）基本不等式的变形公式

①ab2ab

②ab(ab2)

2a＋b（3）2叫正数a,b的算术平均数，ab

叫正数a,b的几何平均数，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。

练习一

判断正误1(1)函数y＝x＋x的最小值是2.(

×

)

(2)函数f(x)sinx4其中x(0,)的最小值等于4。（ ）sinx

xy(3)x>0且y>0是

y＋x≥2的充分不必要条件．(

√

) 知识点二、利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

1.如果积xy是定值p，那么x＋y有最小值是2p____，当且仅当xy时取“=”．

(简记：积定和最小)

s2.如果和x＋y是定值S，那么xy有最大值是_()2___，当且仅当xy时取“=”．

2(简记：和定积最大) 练习二

1、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(C) A．80

B．77

C．81

D．82 x＋y2182＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故C. 解析：xy≤222、若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是(25 m2.) 解析：设一边长为x

m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0

专题一

配凑法求最值

例1

当x51时，求函数f(x)4x2的最小值。

44x554换元用对勾函数

解：x4x5011324x5354x54x5

13当且仅当4x5时，即x时取“=”4x523故fmin(x)f()52f(x)4x5变式：

5（1）将例1中的条件变为x时，求f(x)的最大值。

4解：x54x5041f(x)4x53(4x5)4x512(4x5)4x51

4x5

f(x)211当且仅当54x时，即x1时取“=”314x554x4x5故fmax(x)f(1)1

2(2)已知0x,求f(x)x(25x)的最大值。

5025x2法一：二次函数

2法二：导数

115x25x1f(x)5x(25x)法三:基本不等式

5525

1

当且仅当5x(25x)时，即x时取“=”5

11

故fmax(x)f()55【小题反思】

1.利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”解：0x25是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

2．在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．

专题二

常数代换法求最值

81例2已知正数x,y满足1,求x2y的最小值。

xy

变式：

81x16yx16y解：(x2y)()=8210218xyyxyx811xyx12x16y当且仅当=时，，即时取“=”x16yy3yx=xy故(x2y)min1821已知正数x、y满足x2y4,求的最小值。

xy

12114yx14yx解：（+）(x2y)=(22)(42)2

4xy4xy4xy

4yxx2

=当且仅当xy时，即时取“=”

y1x2y=4

故2+1的最小值为2xy

【小题反思】

常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是本身的性质，通过代数式的

变形构造和式或者积式为定值，然后利用基本不等式求最值。

【高考再现】（学生了解高考怎么考，同时检查本节课掌握的情况如何）

xy1.若直线1(a＞0，b＞0)

过点（1,2）,则2a+b的最小值为

. ab

122.若实数a,b满足ab，则ab的最小值为(

) abA、2

B、2

C、22

D、4

xy3.若直线1(a0,b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于（

）

abA．2

B．3

C．4

D．5 【解析】由已知得1111ba1，则ab=(ab)()2+，因为a0,b0，所以abababbababa+2=2，故ab4，当=，即ab2时取等号．

ababab4.设a,b>0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为________. 【答案】32

【盘点收获】

本节课主要学习：

1、通过配凑法和常数代换构造积式或者和式为定值，从而使用基本不等式求最值。值得注意的是基本不等式成立的条件：一正二定三相等。

2、在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。

主要体现了化归，转化的数学思想。

【作业布置】必做1，2，3题

选做4,5题

1、若x1,求x4的最小值x12、若x0,y0,2xy6xy,求xy的最小值和2xy的最大值

x3、若x0,求2的最大值x+9y224、若x0,满足x1,求x1y2的最大值231m5、已知a>0，b>0，若不等式a＋b≥恒成立，则m的最大值为________________ a＋3b【课后反思】

本堂课意在培养学生简单的基本不等式求最值。由于学生的基础不太好，在整个过程中学生的大部分计算由老师完成的。另外在例2的时间较紧，效果不太好。多种方法的选择的时候一定要跟学生多提，让他们有比较，考试时好选择。