1.不等式的基本性质优质课教案内容

第1课时

不等式的基本性质

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.

2.能够利用作差(商)法比较出两个实数的大小关系.

3.熟练掌握不等式的性质,并运用不等式的性质进行不等式的变形、化简.

甲现在比乙大,再过几年,甲仍然比乙大,它揭示了一个什么问题?

问题1:两个实数比较大小的依据:在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左边的点表示的数大,实数a,b在数轴上的表示如图,可以看出a,b之间具有以下性质:

如果a-b是正数,那么

;如果a-b是负数,那么

;如果a-b等于零,那么

,反之也成立.上述也可表示为a-b>0⇔

;a-b=0⇔

;a-b<0⇔

.

问题2:不等式的性质

1.对称性:a>b⇔

.

2.传递性:a>b,b>c⇒

.

3.相加性:a>b⇔

.

4.相乘性:a>b,c>0⇒

;a>b,c<0⇒

.

5.乘方:a>b>0⇒

(n∈N,n≥2).

6.开方:a>b>0⇒

(n∈N,n≥2).

问题3:移项法则:a+b>c⇔

.

推论:同向不等式可加:a>b,c>d⇒

.

推论:同向不等式(正)可乘:a>b>0,c>d>0⇒

.

问题4:运用不等式的性质需要注意的问题

不等式的基础就在于不等式的基本性质,不等式的性质与等式的性质是有区别的,特别是在不等式的两边同乘或同除一个数时,往往会像对待等式一样给予简单的乘除而不顾方向出错.特别是含有参数的不等式,在未知参数的符号时要注意对参数进行分类,并对各种情况进行分类解答.

1.如果a>b,c

).

A.ad>bc

B.ac>bc

C.a-c>b-d

D.a+c>b+d

2.如果满足c

).

A.ab>ac

B.c(b-a)>0 C.cb2

3.若a,b为实数,则“0”的

条件.

4.设a>0,且a≠1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),试比较P与Q的大小.

不等式的性质

等比数列{an}中,“a1

).

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

作差法比较两个数的大小

若0<α<β<,sin α+cos α=a,sin β+cos β=b,则a,b的大小关系是

.

不等式性质的应用

已知-1≤x+y≤1,1≤x-2y≤3,求x+3y的取值范围.

若-1<α<β<1,则下列不等式中恒成立的是(

).

A.-1<α-β<1 B.-2<α-β<-1 C.-2<α-β<0 D.-1<α-β<0

已知0

.

已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的取值范围.

1.若a>0,b>0,则不等式-b<

).

A.-b

C.x<-或x>

B.-

D.x<-或x>

2.若a<0,-1

).

A.a

B.ab2

C.ab>a>ab2

D.ab>ab2>a

3.若a,b,c,d均为实数,使不等式>>0和ad

.(只要写出适合条件的一组值即可) 4.若x∈R,比较(x+1)(x2++1)与(x+)(x2+x+1)的大小.

1.(2014年·四川卷)若a>b>0,c

).

A.> B.<

C.>

D.<

考题变式(我来改编):

2.(2014年·浙江卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0

).

A.c≤3 B.39

考题变式(我来改编):

选修4-5 不等式选讲

第1课时

不等式的基本性质

知识体系梳理

问题1:a>b ab a=b a

问题2:1.bc 3.a+c>b+c 4.ac>bc acbn

6.

>

问题3:a>c-b a+c>b+d ac>bd

基础学习交流

1.C

2.C

3.充分不必要

4.P>Q

重点难点探究

探究一:【解析】(法一)若a10,则a1q40,则

<

,即a1

(法二)因为a1

【答案】C

【小结】在不等式的两边同乘以(或除以)同一个数时,要注意判断所乘除的数的符号是否影响不等式的方向,同乘以(或除以)一个正数方向不变,同乘以(或除以)一个负数方向改变.

探究二:【解析】∵sin α+cos α=a,sin β+cos β=b,

∴a2=1+sin 2α,b2=1+sin 2β.

又∵0<α<β<,∴0<2α<2β<,∴0

∴a2-b2=(1+sin 2α)-(1+sin 2β)=sin 2α-sin 2β<0,∴a2

又∵0<α<β<,∴a=sin α+cos α>0,b=sin β+cos β>0,

∴a

【答案】a

【小结】本题利用了正弦函数的单调性确定a,b的大小关系.一些函数的性质在解决不等式问题中有重要作用.

探究三:【解析】由1≤x-2y≤3得-3≤-x+2y≤-1,又因为-1≤x+y≤1,所以两不等式相加得-4≤3y≤0,即-≤y≤0,所以0≤-y≤,所以-1≤x≤,又因

为-4≤3y≤0,所以-5≤x+3y≤.

[问题]上述求解过程有什么错误?

[结论]上述解法中不等式变形过程中两边的等号不能同时取到,扩大了变量的取值范围.

因此,正确解答如下:

设x+3y=m(x+y)+n(x-2y)=(m+n)x+(m-2n)y,所以

即

所以x+3y=(x+y)-(x-2y),因为-1≤x+y≤1,1≤x-2y≤3,所

-

-

以-≤(x+y)≤,-2≤-(x-2y)≤-,所以-≤(x+y)-(x-2y)≤1,即-≤x+3y≤1,所以x+3y的取值范围为[-,1].

【小结】在由不等式求变量的范围时,要由已知条件直接表示出未知量,然后根据不等式的性质进行变形,在变形过程中不可扩大变量的范围.

思维拓展应用

-

-

-

-

所以-2<α-β<0,选C.

应用一:C

因为-1<α<β<1,所以

-

即

-

应用二:a<2ab 因为0a>0,所以0

即

因为

≤

(a+b)≤

,-

≤

(a-b)≤ ,所以

应用三:设3a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,所以

-

-

-2≤(a+b)+(a-b)≤10,即-2≤3a-2b≤10,所以3a-2b的取值范围为[-2,10].

基础智能检测

1.D

2.D

3.(2,1,-3,-2)

4.(x+1)(x2++1)>(x+)(x2+x+1)

全新视角拓展

1.D

2.C