小结名师教学设计2

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）

教学设计

一、教材分析：

“排列和组合”是组合数学的最初步知识，也是高等数学中的数理统计、概率统计、运筹学等学科必备的基础知识。这种以计数问题为特征的内容，运算虽然不复杂，但思想方法较为独特、灵活，有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力。正因为如此，“排列、组合”是历年高考重点考查的内容之一，这部分知识占了高二（2-3）教材一个很大的章节，在高中数学教学占有重要的地位，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章重点基础知识，它们是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，不仅是推导排列组合数计算公式的依据，而且其思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终，事实上，从思想的方法的角度看：一个是将问题进行“分类”思考；一个是将问题进行“分步”思考，从而达到分解问题、解决问题的目的。因此学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章内容的关键。

二、教学目标：

1、认知目标：

①理解分类计数原理与分步计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

2、能力目标：

①通过正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题，提高分析问题、解决问题的能力。

3、德育渗透目标：

①了解学习本章的意义，激发学生的兴趣

②引导学生形成

“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。

三、重点、难点分析：

1．教学重点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

2．教学难点：正确运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

四、学生情况分析

“排列、组合”问题对高二学生来说，在以前所学知识未曾接触过，课上的内容比较简单，但在实际应用时，不会应用，对问题的思考方法不太习惯和适应。 五、教学方法：

启发引导式 在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，使学生易于理解。其次，要引导学生通过寻求两个原理的区别来理解原理。运用这两个原理的关键在于区分完成一件事是用分类完成的办法还是用分步完成的办法。通过以教师为主导，学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性。

六、课型及课时安排：

高二新课 课时：2课时。

教具：课件（Powpoint制作）

七、教学设想：

本节课是后面学习排列、组合的重要基础，学生对此类问题的思考方法不适应，在教学时应循序渐进，对概念的讲解，突出其实际意义。为了讲清重点、突破难点，本节课准备充分，调动学生积极参与，首先教师在引入两个基本原理时，通过具体问题具体分析，由一般到特殊，由简单到复杂，层层深入，引发学生将两个基本原理进行比较，并寻求两个原理的区别与联系，正确区分这两个原理，从而使学生能够更好的掌握这两

1

个原理，再通过一定的例题和练习，让学生能够正确应用两个原理，以实现本节课的预定教学目标。

八、教学过程：

（一）课题引入：

[师] 由学生阅读，激发兴趣（给出第一张幻灯片）

从幻灯片“第17届日韩世界杯足球赛比赛提出的问题”使学生了解到，排列组合是完成某项工作的方法总数的知识在实际生产生活中有着广泛的应用，引出学习本章的必要性，明确要学习排列组合知识，首先要熟悉分类加法计数原理和分步乘法计数原理这两个关于计数的基本原理，它们是在人们大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，它们不仅是指导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终，说明其重要性。

（二）

讲授新课：

[师] 首先，看问题1（给出第二张幻灯片） 问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

[学生分析]因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0到9共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码。

问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

[师生共同分析] 要完成从甲地到乙地这件事，从交通工具上可以有两类选择

，即乘火车或者乘汽车，无论乘坐哪一类都可以达到目的。

分析: 从甲地到乙地有2类方法, 第一类方法: 乘火车，有3种办法; 第二类方法: 乘汽车，有2种办法; 所以

，从甲地到乙地共有 N= 2 + 3 =5 种办法。 [师]：你能说说以上两个问题的特征吗？

[学生分析]完成一件事都有2类办法，每一类办法中都有几类方法

[师] 在问题1和问题2的分析过程中,体现了分类加法计数原理。（展示第三张幻灯片）

分类加法计数原理：完成一件事有2类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m+n 种不同的方法。

问题3：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学 B大学

化学 会计学

医学 信息技术学

物理学 法学

工程学

那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？

[学生分析]选择大学共有2类方法

第一类方法: 选择A 大学，有4种选专业办法

第二类方法: 选择B大学，有3种选专业办法

所以，这名同学选专业共有N=4+3=7种办法。

变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学。那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？

2

[学生分析]这位同学还有第3类方法，选择C大学，有3种选专业办法，共有N=4+3+3=10种办法。

探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2m3种不同的方法，那么完成这件事类方案中有 m2种不同的方法，在第3类方案中有 共有多少种不同的方法？

如果完成一件事情有 n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

[学生分析归纳]：

完成一件事情，有n类不同方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有 m2种不同的方法……在第n类方案中有 mn种不同的方法。那么完成这件事共有

Nm1m2mn 种不同的方法。

[师生共同分析归纳]使用分类计数原理中的“分类”要注意：

1、首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，标准必须一致，而且全面、不重不漏！

2、“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的

，即：它们两两的交集为空集！（完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法）

3、每一类办法中的任何一种方法都能将这件事情从头至尾完成。

问题4：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以 , , , ,BA1A2…，1B2…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？（展示第四张幻灯片）

[学生分析]：完成一件事要分2个步骤，第一步选择一个大写字母，有6种方法，第二步，选择一个数字，有9种方法，共有6×9=54种方法。

探究：你能说说这个问题的特征吗？

[学生分析]：完成一件事要分2个步骤，每个步骤有几种方法。

[师] 在问题4的分析过程中,体现了分步乘法计数原理。（展示第五张幻灯片）

分步乘法计数原理 完成一件事有两个步骤，在第1个步骤中有m 种不同的方法，在第2个步骤中

有 n 种不同的方法。

那么完成这件事共有

N=m×n 种不同的方法。

问题5：设某班有男生30名，女生24名,任课教师6名。

现要从中选出男、女生各一名代表班级去参加比赛，还要有1名任课教师带队，共有多少种不同的选法？

[学生分析]：完成这件事要分3个步骤，

第一步，选择一个男生，有30种方法；

第二步，选择一个女生，有24种方法；

第三步，选择一个老师，有6种方法。

共有N=30×24×6=4320种方法

m1种不同的方法，做第2步有 m2种探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有 不同的方法，做第3步有 m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

[学生分析]完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2m2种不同的方法……做第n步有 步有 mn种不同的方法。那么完成这件事共有

Nm1m2mn种不同的方法。

[师生共同分析归纳]使用分步乘法计数原理中的“分步”程序：

3

1、分步标准必须一致、正确。

2、“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。

3、若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。

[师]下面结合例题一起体会两个基本原理的应用

例1、书架上第一层放4本不同的计算机书，第二层放3本不同的文艺书，第三层放2本不同的体育书，

（1）某同学从中取出一本，有多少种不同的取法？

（2）从书架上1，2，3层上各取一本书，有多少种不同的取法？（展示第六张幻灯片）

[学生分析]：（1）要完成这件事，有三类不同的取法

第一类：取一本计算机书有4种不同的取法

第二类：取一本文艺书有3种不同的取法

第三类：取一本体育书有2种不同的取法

共有4+3+2=9 （2）要完成这件事，需要分3个步骤

第一步：取一本计算机书有4种不同的取法

第二步：取一本文艺书有3种不同的取法

第三步：取一本体育书有2种不同的取法

共有4 ×3 ×2=24种

[师] 在运用分类计数原理和分步计数原理解题时，关键是要把握好类别的区分，弄清解题的步骤，在处理具体问题时，首先要弄清的是：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，完成这件事的每一类方法里，又要分几个步骤，这样才会不重不漏地解决问题,一般是先分类再分步。

例2、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？（展示第七张幻灯片）

解: (1)按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10。

根据分步计数原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 1000 种三位数的密码。 (2)首位数字不为0的密码数是 N =9×10×10 = 900种, (3)首位数字是0的密码数是 N = 1×10×10 = 100 种。

由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。 [例3]（1）有5名学生分别报名参加学校田径运动会的跳高、跳远、铅球项目且每人限报一项，不同的报名方法有多少种？

（2）有5名学生分别在学校田径运动会上争夺跳高、跳远、铅球项目的冠军，且每人参加项目不限，获得冠军的情况有多少种（没有并列冠军）？（展示第八张幻灯片）

分析：（1）要完成的事是五名学生报名参赛，每人要选报一项，每人有三种选择，则5名学生选报完这件事就完成了，根据分步计数原理，分五步：

第一步：有三种报名方法，…。第五步：有三种报名方法。共有：

N=3×3×3×3×3=243种不同的报名方法。

（2）分析：要完成的事是五名学生争夺三项冠军，每一项冠军只能有一个，每一个项目的冠军可能有五种情况，所以，分三步，共有5×5×5=125 种不同的获得冠军的情况。

[师] 此例题，对于刚刚接触排列组合知识的学生来说，是十分容易混淆的问题，其结果关键还是看人选项目，还是项目选人谁选谁的问题。

[师] 下面我们通过课堂练习来进一步熟悉基本原理的应用。

（三）课堂练习：

课本P6练习1，2，3（找学生到黑板上演示）

4

巩固练习 基础题

1、填空：

①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 5+4=9 。

②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 3 ×2=6条。

2、现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名。

①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3+5+4=12 ②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ 3 × 5 × 4=60 能力题

3、从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有 11 种。

4、甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 31 种不同的推选方法。

5、有3个班，分别从5处风景点中选择1处游览，共有125 种选法

拓展题

6、

5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成多少种不同的币值？（1张不取，即0元0分0角不计在内）

解： 元：0，1，2，3，4，5 角：0，1，2，3，4 分：0，2，4，5，7，9 共有 6×5×6－1＝179 （四）课时小结：

[师] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的共同点是什么？不同点什么？

[生] 共同点是：

它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。

不同点是：

它们研究完成一件事情的方式不同, 分类加法计数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。

分步乘法计数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。

（五）课后作业: 课本习题1.1 P 12第2，3，4题

九、

板书设计：

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1分类加法计数原理 例1 练习：

例2 2分步乘法计数原理 例3 十

、教学反思：

1、本节课在教学设计上遵循以教师为主导，以学生为主体，思维训练为主线，能力发展为主攻的原则，采用引导探究发现法，重视数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力和创新意识。

2、本节课内容较简单，各种程度的学生都可以很好的掌握，本节课把重点放在分类加法计数原理和分步乘法计数原理的发现过程上，然后做几个简单练习，原理的应用在下一课时进行。

3、在以后的教学中，应更多的重视数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力和创新意识。

5