2.2.2 直线方程的几种形式教案2

《直线的方程》教案

广东汕头华侨中学 张卓雅 2019年5月5日

课题

教材

人教B版（必修二§2.1.2）

直线的方程

授课人

张卓雅

课型

新授课

1、知识与技能：（1）理解和掌握直线方程的点斜式方程，了解斜截式的形式以及相关的几何意义；（2）能正确利用直线的点斜式求一些简单的直线方程。

教

学

目

标

2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，求出直线的点斜式方程，继而推导斜截式方程。

3、情感态度与价值观：通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

从研究直线方程开始，学生对“解析几何”的学习进入了实质阶段，“直线与方程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何”教学的效果.刚刚接触“解析几何”的学生还不能理解“解析几何” 的实质，而本节课则以比较浅显的问题开启了“解析几何”学习的先河，他们可逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，从而自然地构建出本节课研究的内容.教材

分析

两种直线方程形式中的关键字“点、斜”与“斜、截”分别是“两个独立条件”的高度概括，是对直线方程本质提炼.这些都是“解析几何”，乃至全部数学内容的精髓，引导学生深刻理解、熟练掌握这些，对于提高他们的数学素养大有裨益. 本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步解决后继的问题打下了坚实的基础.并以生动的生活具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想. 教学

重点

直线的点斜式方程和斜截式方程. 重点突出策略：让学生以个人思考和小组讨论相结合的方式自行推导两种形式的方程。

直线的点斜式推导过程中直线与方程对应关系的理解，即纯粹性和完备性。

教学

难点

难点突破策略：由具体例子到一般问题，从有限关系到无限事实，让学生能初步体会直线的方程和方程的直线之间的对应关系，即纯粹性和完备性。为以后曲线与方程的对应关系做铺垫。此处的要求不易过高，也不可能一次到位，要有一个螺旋上升的过程。

主要

教具

三角板、学具、

幻灯片

主要

教法

综合运用“教师启发”、“问题探究”、“合作学习”等方法组织教学

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教学过程：

环节

引言

教学内容

教师活动

提出框架问题和今天的学习任务：

我们是否也能来做一次小科学家？尝试求出流浪的地球轨迹上点（x,y）满足的关系式，也就是直线的方程。

学生活动

明确学习内

容，懂得在分工合作，并为协同工作共同承担责任。

设计意图

通过生活实例,使学生对直线有初步的感性认识。从中体会数学来源于生活,并应用于生活.激发学习兴趣。

电影《流浪的地球》中地球运行的轨迹假若是一条直线，可以把它运行的轨迹看成是点的集合，电影中科学家梦寐以求的就是点（x,y）的关系式，也就是直线的方程，从而预测距离和时间。

回 1.直线的倾斜角与斜率k 顾 满足的关系是k=_____ 2.经过两个不同点知

A(x1,y1),

B(x2,y2)

(其识 中x1x2)直线的斜率k＝帮助学生复习有关知识．点评学生回答后，强调注意点，理清学生的思路。

熟悉已学知识，并懂得熟练运用。明确公式条件的限制，为接下来的学习任务作好准备。

巩固所学知识，为推导直线的点斜式方程做准备；从生活现象引出研究课题）.

_______

创 设 情 角色一:如果你是建筑设计 师，要建造这座跨海大桥，境 首先要知道这座大桥所在直 线，才能进一步设计施工，那么确定这条直线需要什么几何元素？

提出问题：在直角坐标系中，确定一条直线的几何要素？以问题驱动引导学生进一步了解本课学习的相关内容，为新课作好

铺垫。

小组根据要求合作研究，从而发现、分析、解决问题。确定一条直线所需要的几何要素：

①

直线上两点

②

直线的一点P0和斜率k

调动起好奇心，激发起学生的学习本课的兴趣。让学生感到数学无处不在。

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环节

新

课

讲

解

教学内容

直线

l已知元素为教师活动

通过问题的处理，让学生学会解决问题的方法（猜想—验证—证明）。

学生活动

体会直线上的点与方程的解之间的对应关系。在推导过程中让思维严谨，做到不缺不漏。

设计意图

通过问题的设问，调动学生动脑的积极性，提高学生的参与度，同时也使知识自然生成，便于学生理解. A(-1,3)

斜率-2探求点P(x,y)在直线上运动满足什么规律？（也就是x,y的关系式）

注意：y32

x1（缺一点美中不足）

y32(x1)

（补一点完美无缺）

自主探究

导出方程

直线

l已知元素为引导学生自主推导方程，感知由特殊到一P(x0,y0)

般的推理思想。由直斜率k线上一定点及其斜率确定直线方程，所以把y

–

y0 = k (x

–

x0)（1）

叫做直线的点斜式方角色二：

你是“推理演算师”

程，简称点斜式

完成以下任务: 说明：(1)可以验证，(1)请推导出该直线l的方直线l 上的每个点程。

（包括点 P1 ）的坐(2)直线的点斜式方程能否标都是这个方程的表示坐标平面上的所有直线解；反过来，以这个呢？

方程的解为坐标的点(3)特殊情况时(与坐标轴平都在直线l 上；

行),直线方程是怎样? （留课后证明）

让学生通过个人思考和小组讨论相结合的方式运用复习的内容自行推导出直线的点斜式程。感知由特殊到一般的推理思想。并找到这种方程的局限性。理解直线的点斜式方程的适用范围(1)经过点P0(xo,yo)且平行于x轴（即垂直于y轴）直线方程是什么？

(2)经过点P0(xo,yo)且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是什么？

(3)x轴和y轴所在直线方程是什么？

知识应用

体验数学

例1．根据下列条件，分别写出直线l的点斜式方程：

①

经过点P（2，3）,斜率是-1 教师强调点斜式的条件并板书，为后面转化为斜截式铺垫。“点”和“斜”是两个独

立条件的浓缩概括，

②

经过点C（0,3），倾斜一个极为传神精准的命名.

0角是

0

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注重层层递进，让学生乐于交流讨论，不断体验到成功的快乐，从而顺利地建立了特殊到一般之间的联系。并成为自主的学习者，友好的合作者。让学生思考探索、得出结论。

独立完成后，小组交流。完善答案。

这组题比较简单，让学生直接应用，内化新知，既能巩固点斜式方程，又能培养学生独立研究数学问题的意识和能力。.

环节

探究合作

感悟数学

教学内容

教师活动

学生活动

分组讨论

1. 观察方程它的形式ykxb，具有什么特点？

2.斜截式与一次函数有什么区别？

有着相同的“面孔”，但有着本质的区别，前者的 k可以为 0，后者的 k却不可为.即集合｛一次函数的 y=kx+b 的图象｝是集合｛斜截式方程 y=kx+b 表示的直线｝的真子集. 3.斜截式与点斜式的关系

直线的斜截式方程是直线点斜式方程的一种特殊情况，即给出了直线与 y轴交点的纵坐标 (0，b)；

4.截距与距离一样吗？

设计意图

由直线的点斜式方程推导斜截式方程，让学生懂得斜截式源于点斜式。让学生掌握直线的斜截式的结构特征，理解k，b的几何意义.有意识渗透一般到特殊的化归思想，以提高学生的思维层次和思考能力

例2．已知直线l的斜率为k，让学生进行反思、归纳求直线方程的方且与y轴的交点为(0,b)，求法，同时引出截距的概念及斜截式方程，直线l的方程。

分析：由直线的点斜式我们使学生意识到截距不是距离，可以大于零、l有直线的方程为小于零和等于零.又一次模拟了真理发现ykxb

的过程，也它为下节练习：写出下列直线的斜课研究直线的一般式率和在

y 轴上的截距：

方程作了重要的准备。

y2x1 yx4

y3x y3

一起认识截距

截距的困惑：我是距离吗？

结论：“b”既可以为正、为负，也可以为 0.但距离是恒为非负的，所以有“截距非距”之说.

师生

互动

合作探究

角色三：我是大侦探，观察以下两组直线，破解迷题找到共同点。

动中觅静，变中觅定

引导学生找到共同数形结合,观察,比点,学会动中觅静，变较,转化,抽象出共同中觅定,为后面研究

点. 推测1：当 k 取任意ykx2和实数时，方程 y=kx+2 表示的直线都经过点y2xb做铺垫. （0，2），它们是一组共点直线.

推测2：当 b 取任意实数时，方程 y=2x+b 表示的直线彼此平行，它们是一组平行直线，它们斜率相等，纵截距不等.

①掌握从直线斜截式方程的角度判断两条直线的位置关系，进一步理解k，b的几何意义. ②了解斜截式方程与点斜式方程之间是否可以互化。

③为接下来的直线过定点问题做铺垫。

这两组直线有什么共同特点？能用一个方程表示它们出来吗?

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环节

新知识小结

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

巩固新学知识和结论，让学生更加了解方程的结构特征，并总结直线的斜截式方程与点斜式.一次函数的关系. 1.通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？

直线的点斜率式方程，直线的斜截式方程

直线斜截式方程是点斜式方程的特殊情况；

斜截式方程与一次函数的图象之间的关系；

2.本节课用到的数学思想有哪些？(数形结合、分类讨论等)

3.通过本节课的学习，你会解哪些类型的题目？

方程的实际应用多么强大！

由直线上一个点的坐标和直线的斜率求直线的方程；

作业

反馈练习1、根据下列条件,直接写出直线的方程

(1)经过点（1，2），斜率为-1；

(2)斜率为-1,在y轴上的截距为3；

(3)经过点（1，2）,(3,0)；

反馈练习2、角色四：

我是命题老师

写出经过点P（-2，1），

且 求直线l的方程：

有你填写一个已知条件

反馈练习3、绘制本节课的思维导图

一方面为了巩固知识，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，充分培养了学生的自主归纳能力和探究性学习习惯。

课后反思

本节的知识内容是在学生学习了直线的倾斜角和斜率的基础上引进的，通过斜率的学习，学生已具备独立推导的能力。通过“设点——找等量关系——列方程——整理并检验”的探究过程，体验方程的生成过程,让学生充分体验到了成功的喜悦，也为以后“曲线与方程”的教学做了铺垫。从而 提高了学生分析问题、解决问题的能力，增强了学生的自信心。学生独立思考并在学案上完成，教师点评并表扬学生。另外教学过程中，我留给学生充分的思考与交流的时间，让学生开阔思路，培养学生的逻辑能力，突显强调每种形式方程的特征，并让学生领悟记忆。引导学生小结斜截式和点斜式方程的适用范围；及特殊情况的直线方程。 本节课的思想方法：1. 分类讨论思想；2. 数形结合思想；研究问题的思维方式：1.逆向思维； 2.特殊到一般、一般到特殊的化归思想。并在教学过程中设置在补充的例题练习中有几道易错题,学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，再次巩固以便达到强化训练的目的。这样教学设计，不仅关注学生的思考过程，还要关注学生的思考习惯。为了激发学生探究问题的兴趣，通过例题2让学生观察、动手实践，、积极主动的探究，理解斜截式和点斜式方程之间是否可以互化，答案是否唯一。 使学生落实基础知识，增强分析和解决问题的能力，同时通过师生共同探究和交流，每一位学生获得了知识和情感的体验。本节的推理逻辑性较强，让学生动手、动脑、动笔去推导方程，让学生参与一个

“开放性例题”的设置，让学生体会到数学的严谨性，并获得数学活动的经验，提高自己的逻辑思维能力。

作为老师，我有必要在一些细节上更加完善地做好细节工作，比如每个环节衔接的打磨等。同时还必须注意对学生综合能力的培养，包括独立发现问题、解决问题，回过头来再寻求更好解决途径的过程。

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