2.1.1 数轴上的基本公式课堂实录【2】

§2.1

平面直角坐标系中的基本公式

2.1.1

数轴上的基本公式

学习目标

1.理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义.2.掌握数轴上两点间的距离公式.3.掌握数轴上向量加法的坐标运算．

知识点一

数轴(或直线坐标系) 思考1

数轴是怎样定义的？

答案

一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．

思考2

实数集与数轴上的点有怎样的关系？

答案

实数集与数轴上的点存在着一一对应的关系．

梳理

数轴的概念

(1)数轴(直线坐标系)的定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．

(2)数轴上的点P与实数x的对应法则

点P的位置

与点P对应的实数x 实数x的大小

依据这个法则，实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系．

原点朝正向的一侧

正数

等于点P到原点的距离

原点

原点朝负向的一侧

0

负数

绝对值等于点P到原点的距离

0

(3)数轴上点P的坐标

如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)．

知识点二

数轴上的向量及有关概念

思考1

在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？

答案

它们都是既有大小，又有方向的量．

思考2

一名同学从A地直接跑到B地，用AB表示，你能用这种方法表示该同学从B地返回到A地吗？它们相等吗？

答案

BA.不相等，因为它们方向不同．

思考3

相等的向量的起点与终点相等吗？

答案

相等的向量的起点与终点不一定相等，可以通过平移将所有相等的向量移到同一个向量处．

梳理

数轴上的向量及有关概念

(1)向量的定义

如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移，位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．

(2)向量的描述

向量的表示

向量的长度

(3)相等的向量

数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．

知识点三

数轴上的基本公式

在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由点B再作一次位移到点位移的和

向量坐标运算法则

向量坐标表示及距离公式

已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，则AB＝x2－x1，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1| →→→→→→C，则位移AC叫做位移AB与位移BC的和，记作AC＝AB＋BC

对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系AC＝AB＋BC

→→从点A到点B的向量，记作AB，点A叫做向量AB的起点，点→B叫做向量AB的终点

→→线段AB的长叫做向量AB的长度，记作|AB| →→

类型一

数轴上的点与实数的对应关系

例1

(1)如果点P(x)位于点M(－2)，点N(3)之间，求x的取值范围；

3(2)试确定点A(x2＋x＋1)与点B4的位置关系．

解

(1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，

而P点位于两点之间，应满足－2

(2)∵x2＋x＋1＝241∴当x＝－时，A、B两点重合；

213当x≠－时，x2＋x＋1>，∴点A位于点B右侧．

24综上所述，A、B两点重合或点A位于点B右侧．

反思与感悟

根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．

跟踪训练1

不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)．

(1)A(－1.5)，B(－3)；

(2)A(a)，B(a2＋1)；

(3)A(|x|)，B(x)．

解

(1)∵－1.5>－3，

∴点A(－1.5)位于点B(－3)的右侧．

133a－2＋≥>0，

(2)∵a2＋1－a＝244∴a2＋1>a，∴点B(a2＋1)位于点A(a)的右侧．

(3)当x≥0时，|x|＝x，

则点A(|x|)和点B(x)为同一个点；

当x<0时，|x|>x，

则点A(|x|)位于点B(x)的右侧．

类型二

数轴上的向量和基本公式

例2

已知数轴上有A、B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3. (1)求OA，AB的坐标；

(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和．

解

(1)∵点A与原点O的距离为3，

∴点A的坐标为3或－3. ①当点A的坐标为3时，

∵A，B之间的距离为1，

∴点B的坐标为2或4. 此时OA的坐标为3，

AB的坐标为－1或1；

②当点A的坐标为－3时，

∵A，B之间的距离为1，

∴点B的坐标为－4或－2. 此时OA的坐标为－3，

AB的坐标为－1或1. (2)所有满足条件的点B到原点O的距离之和为2＋4＋4＋2＝12. 反思与感悟

数轴上的向量的计算策略

(1)熟练掌握一些条件变换，如－MQ＝QM. (2)通过条件变换合理分组，灵活地运用向量的运算法则进行计算．

(3)熟记公式并正确地理解数学符号的含义．

跟踪训练2

已知数轴上的三点A(－1)，B(5)，C(x)．

(1)当|AB|＋d(B，C)＝8时，求x；

(2)当AB＋CB＝0时，求x；

(3)当AC＝1时，求证：AB＋BC＝AC. (1)解

由题意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，

d(B，C)＝|x－5|，

当|AB|＋d(B，C)＝8时，

有6＋|x－5|＝8，

解得x＝3或x＝7. (2)解

由AB＋CB＝0可知，

5－(－1)＋5－x＝0，

解得x＝11. (3)证明

当AC＝1时，有x－(－1)＝1，

解得x＝0. 所以AB＋BC＝5－(－1)＋0－5＝1＝AC. 类型三

数轴上两点间的距离

例3

已知数轴上两点A(a)，B(5)．求：当a为何值时，

(1)两点间的距离为5；

(2)两点间的距离大于5；

(3)两点间的距离小于3. 解

数轴上两点A，B之间的距离为|AB|＝|a－5|. (1)根据题意得|a－5|＝5，解得a＝0或a＝10. (2)根据题意得|a－5|>5，

即a－5>5或a－5<－5，

解得a>10或a<0. (3)根据题意得|a－5|<3，即－3

解得2

一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离．

跟踪训练3

已知M，N，P是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M，P)．

解

M，N，P是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3. (1)当点P在点M，N之间时(如图所示)，

d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2. (2)当点P在点M、N之外时(如图所示)，

d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8. 综上所述，d(M，P)＝2或d(M，P)＝8.

1．下列说法中，正确的是(

) A．向量不能比较大小，所以向量无大小

B．零向量是没有方向的

C．向量的长度也是向量的数量

D．若AB＝4，则BA＝－4 答案

D 2．下列说法正确的是(

) A．两点确定一条有向线段

B．有向线段AB的数量AB＝－|BA| C．若A，B，C是数轴上的任意三点，则一定有AB＝AC＋CB

D．点A(2)，B(－1)，则AB＝3 答案

C

3．A，B为数轴上的两点，点A的坐标是－1，AB＝6，那么点B的坐标为(

) A．5

C．5或－7

答案

A 4．若在直线坐标系中，有两点A(6)，B(－9)，且AB＋BC＝2 016，则点C的坐标为________．

答案

2 022 5．在数轴上求一点P，使它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍．

解

设所求点P的坐标为x，

则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，

所以x＝3或x＝－5. 所以P(3)或P(－5)．

1．向量的有关概念及表示

→→要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标(数量)这几个概念，它们分别用AB、|AB|、AB来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．

2．向量的有关运算公式

→→数轴上向量加法的运算法则是对于数轴上任意三点A，B，C，都具有AC＝AB＋BC(或AC＝AB→＋BC)．数轴上的向量坐标公式AB＝x2－x1(A、B两点的坐标分别为x1，x2)，即数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标，数轴上两点距离公式d(A，B)＝|x2－x1|. 3．数轴上向量加法的坐标运算法则

对数轴上的任意三点A，B，C都有AC＝AB＋BC，可理解为AC的坐标等于首尾相连的两个向量AB，BC的坐标之和. B．－7 D．－5或7

一、选择题

1．下列说法中正确的是(

) A．数轴上一个点可以表示两个不同的实数

B．数轴上有两个不同的点表示同一个实数

C．任何一个实数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点

D．有的实数不能在数轴上表示出来

答案

C

解析

根据点与实数在数轴上建立一一对应关系可以判定．

2．在数轴上M，N，P的坐标分别是3，－1，－5，则MP－PN等于(

) A．－4

B．4

C．－12

D．12 答案

C 解析

∵MP＝－5－3＝－8，PN＝－1－(－5)＝4，

∴MP－PN＝－8－4＝－12. 3．在数轴上从点A(－2)引一线段到点B(1)，再同向延长同样的长度到点C，则点C的坐标为(

) A．13

C．4

答案

C 解析

如图所示，故C(4)为所求．

4．如图所示，在数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d－2a＝10，那么数轴的原点应是(

)

A．A点

C．C点

答案

B 解析

用排除法，如原点为A，则a＝0，d＝7，d－2a＝7≠10，排除A；同样的方法，排除C、D；若原点为B，则a＝－3，d＝4，d－2a＝4－2×(－3)＝10，满足条件，故选B. 5．若点A，B，C，D在一条直线上，BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD等于(

) A．0

B．－2

C．10

D．－10 答案

B 6．在数轴上，已知任意三点A，B，O，下列关系中，不正确的是(

) A．AB＝OB－OA

C．AB＝AO＋OB

答案

D 解析

∵OB－OA＝OB＋AO＝AO＋OB＝AB，

∴AB＝OB－OA，故选项A正确；选项B、C显然正确；AB＋AO＋BO＝2AO≠0，故选项D不正确．

7．在数轴上，已知A，B，C三点的坐标分别为x,2x,3－x，若使AB＋CB＞AC，则实数x的取值范围是(

) A．x＞2

B．x＞1 B．AO＋OB＋BA＝0 D．AB＋AO＋BO＝0 B．B点

D．D点

B．0 D．－2

C．x＜3

答案

B 解析

∵AB＋CB＞AC，

∴由向量坐标公式，

D．x＜1 得(2x－x)＋[2x－(3－x)]＞(3－x)－x，

解得x＞1，故选B. 8．设数轴上三点A，B，C，点B在A，C之间，则下列等式成立的是(

) →→→→A．|AB－CB|＝|AB|－|CB| →→→→B．|AB＋CB|＝|AB|＋|CB| →→→→C．|AB－CB|＝|AB|＋|CB| →→→→D．|AB＋CB|＝|AB－CB| 答案

C →→→→→→→解析

根据A，B，C三点的相对位置可知，|AB－CB|＝|AB＋BC|＝|AC|＝|AB|＋|CB|，故C成立．

二、填空题

9．已知数轴上点A，B的坐标分别为x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，则x1的值为________．

答案

－6或4 解析

由|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，解得x1＝－6或x1＝4. 10．在数轴上，已知点B的坐标为3，AB＝4，则点A的坐标为________；已知点N的坐标为2，|MN|＝1，则点M的坐标为________．

答案

－1

1或3 解析

设点A的坐标为x. ∵AB＝3－x＝4，∴x＝－1. 设点M的坐标为y. ∵|MN|＝|2－y|＝1，

∴y＝1或y＝3. 11．已知数轴上两点A(a)，B(5.5)，并且d(A，B)＝7.5，则a＝________；若AB＝7.5，则a＝________. 答案

－2或13

－2 解析

∵d(A，B)＝7.5，

∴|5.5－a|＝7.5，解得a＝－2或a＝13. 若AB＝7.5，则5.5－a＝7.5，解得a＝－2.

三、解答题

12．在数轴上，已知A，B，C三点的坐标分别为－3,7,9. (1)求AB＋BC＋CA的值；

(2)求|AB|＋|BC|＋|CA|的值．

解

(1)AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0；

(2)|AB|＋|BC|＋|CA|＝|7－(－3)|＋|9－7|＋|－3－9|＝24. AC113．已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在直线AB上，且有＝，延长DC到E，BC2使dC，E1＝，求点E的坐标．

dD，E4解

设C(x)，E(x′)，

则ACx－－21＝＝，解得x＝－5，所以C(－5)．

BC2x－1dC，Ex′＋51因为E在DC的延长线上，所以＝＝，

dD，Ex′－342323－. 解得x′＝－，所以E33四、探究与拓展

14．数轴上点P，M，N的坐标分别为－2,8，－6，则在①MN＝NM；②MP＝－10；③PN＝－4中，正确的表示有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

答案

C 解析

数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN＝NM不正确，MP＝－10，PN＝－4正确．

15．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到达k1，第二步由k1向右跳2个单位到达k2，第三步从k2向左跳3个单位到达k3，第四步由k3向右跳4个单位到达k4，…，当按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰为19.94，试求电子跳蚤的初始位置点k0所表示的数．

解

设k0表示数轴上的数为x，则k1，k2，k3，…，k100表示的有理数分别为x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100＝19.94，即x＋(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝19.94，即x＋50＝19.94，所以x＝－30.06，所以k0表示的数为－30.06.