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等差数列与等比数列

一、教学目标：

1．理解等差、等比数列的概念．

2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．

3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．

二、重点、难点：

1、教学重点：等差数列的通项公式与前n项和公式及性质的应用。

2、教学难点：能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 三、教法设计：

类比，观察，归纳总结、自主探究、讲练结合

四、教具学具准备：

多媒体，学案

五、课时安排：1课时

六、教学过程：

【复习回顾】

1．等差数列的定义：

an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. nn－1a1＋ann(2)前n项和公式：Sn＝na1＋2d＝. 23．等差数列的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

4．等差数列的四种判断方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．

(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．

一、等差数列的基本运算

【例1】1．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(

) A．8

B．10

C．1

2

D．14 解析：

因为S3＝3a1＋＝2＋5×2＝12.故选C．

2．(2014·天津卷)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

4×3解析：

由已知得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1＋2×(－1)＝4a1－6，而S1，1S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，整理得2a1＋1＝0，解得a1＝－2. 【归纳】

等差数列基本运算的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．

二、等差数列的判定与证明

【例2】已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋13×3－13×2d＝3×2＋22d＝12，所以d＝2.所以a6＝a1＋(6－1)dan－2n－2.设bn＝3n. n证明：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．

an＋1－2n＋1an－2n证明：

∵bn＋1－bn＝－3n

3n＋13an＋3n＋1－2n－2n＋13an－3·2n＝－＝1，

3n＋13n＋1a1－2∴{bn}为等差数列，又b1＝3＝0. ∴bn＝n－1，∴an＝(n－1)·3n＋2n. 1【练习】已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)．

an－11设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}是等差数列．

an－111证明：

∵an＝2－，

∴an＋1＝2－a. an－1n

11∴bn＋1－bn＝－＝an＋1－1an－1an－111－＝＝1，

1an－1an－12－a－1n1∴{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．

2－1【归纳】

等差数列的判定方法大全

(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，an－an－1＝d(常数)(n≥2)；第二种方法是利用等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．

(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式直接判定．

(3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可．

三、等差数列的性质

【例3】(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(

) A．0

B．37

C．100

D．－37 (2)(2014·北京卷)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

解析：

(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an＋bn}为常数列，∴a37＋b37＝100. (2)由等差数列的性质可得a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0；而a7＋a10＝a8＋a9<0，故a9<0.所以数列{an}的前8项和最大．

【练习】

1．等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(

) A．20

B．22

C．24

D．－8 解析：

∵a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________. 解析：

∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60. 四、小结：（学生归纳）

1、等差数列的基本运算

2、等差数列的判定与证明

3、等差数列的性质：

五、作业：

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝

324(n>6)，则数列{an}的项数n＝________. 解析：

由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①

an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②

①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，

na1＋an又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18. 22．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

1(1)证明数列a是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．

n11解析：

(1)证明：将

3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)．

anan－11所以数列a是以n1为首项，3为公差的等差数列．

11(2)由(1)可得a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝. 3n－2n13．已知等差数列{an}，其中a1＝3，a2＋a5＝4，an＝33，则n的值为________．

2212解析：在等差数列{an}中，a2＋a5＝2a1＋5d＝3＋5d＝4，所以d＝3，又an＝3＋3(n－1)＝33，解得n＝50. 4．已知an＝－2n＋27，则a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝________. 解析：

由an＝－2n＋27，知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．

nn从而a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝2(a1＋a3n－2)＝2(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 六、板书设计：

5.2

等差数列

一、等差数列的基本运算

二、等差数列的判定与证明

三、等差数列的性质：

例题展示

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学生板演