一 数学归纳法多媒体教案及点评

数学归纳法

教学目标：

1、知识与技能：使学生理解数学归纳法的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．

2、过程与方法：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率；通过学习，让学生体会用归纳推理发现规律，再用数学归纳法证明规律。

3、情感、态度与价值观：通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学的科学意义。

教学重点：借助具体的实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

教学难点：1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；

2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

教学用具：ppt课件、多媒体计算机、两盒粉笔。

教学流程：课题引入

探究原理 类比启发 概念生成

概念巩固提升

课堂小结 作业布置

一、

课题引入

情景一：给出第一个盒子里装的部分白色粉笔，猜测盒子里装的全是什么颜色的粉笔？

情景二：如何断定第二个盒子里装的粉笔全是白色的？

情景三：通过计算下面的式子，你能猜想-1+3-5+想正确吗？如何证明这个结论？

+（1）-n(2n-1)的结果吗？这个猜-1+3= -1+3-5= -1+3-5+7= -1+3-5+7-9=

-1+3-5+

+（1）-n(2n-1)= 1

师生活动：师生一起完成情景一：教师给出盒子一部分白色粉笔，学生猜测盒子一装的全是白色粉笔，继而教师倒出盒子一全部粉笔，里面掺杂彩色粉笔，学生猜错；情景二：教师提出问题如何断定第二个盒子里装的粉笔全是白色的？学生回答倒出盒子二的全部粉笔进行一一验证，得到结论盒子二装的全是白色粉笔。教师给出不完全归纳法和完全归纳法，继而进入情景三，先让学生计算、填空、猜想结论，在教师的引导下思考结论的正确性以及如何证明得到本节课的课题。

设计意图：通过情景一了解不完全归纳法：考察部分对象作出一般结论的推理方法（结论不一定正确）；通过情景二了解完全归纳法：考察全部对象得出一般结论的推理方法（结论一定正确）；通过情景三让学生大胆猜想结论，要想知道猜想正确，需要一一验证-1+3-5+（1）+n-对任意正整数n都成立，而n有无数个，我们精力有(2n（1）-1)n=n（-）限，无法实现一一验证，从而需要寻求有限个步骤处理无限对象的方法，引出课题：数学归纳法。

二、

新知学习

1、

探究原理

我们从多米诺骨牌游戏说起，观看米诺骨牌游戏视频，思考：

问题1：这个游戏中，能使所有“多米诺骨牌”全部倒下的条件是什么？每个条件的作用是什么？

(1)

第一块骨牌倒下；

(2)

任意相邻的两块骨牌，前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌也倒下。

条件（1）的作用是奠基（递推基础）；

条件（2）的作用是给出了一个递推关系（递推依据，传递性）：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

只要保证了条件（1）（2），无论有多少张骨牌哪怕是无数张都能全部倒下。

师生活动：学生思考，教师提问，补充。

设计意图：创设情境引发学生学习数学归纳法的学习欲望，由多米诺骨牌游戏归纳所有骨牌倒下的条件，与学生一起解析归纳原理，揭示递推过程。

2、

类比启发

等式（﹡）成立与多米诺骨牌游戏有没有相似性呢？我们把骨牌类比成等式，把骨牌倒下类比成等式成立，排列骨牌类比成等式（﹡）按正整数n从小到大的次序依次排无限长的一队，那么关于证明-1+3-5+问题1：-1+3-5+，思考：

+（1）-n(2n-1)=（1）-nn（）成立需要的两个条件分别是什么？ +（1）-n(2n-1)=（1）-nn（）（）问题2：如何保证（1）（2）两个条件呢？请按此思路证明等式。

2

分析：

多米诺骨牌

骨牌倒下

（1）第一块骨牌倒下。

-1+3-5+等式成立

+（1）-n(2n-1)=（1）-nn

（）（1）当n=1时，等式成立（左边=右边）

（2）若当n=k时等式（）成立，即（2）若第k块倒下时，则相-1+3-5+邻的第k+1块也倒下。

成（）则当n=k+1时也+（1）-k(2k-1)=（1）-kk成立

，立，即-1+3-5+成立。

1+（1）-k(2k-1)+（1）-k+12(k+1)-1=（1）-k+（k+1）根据（1）和

（2）可知，根据（1）和（2）可知，对任意的正整数n，猜想都成立。[来不论有多少块骨牌，都能全部源:学科网ZXXK]

倒下。

（）师生活动：教师引导启发，让学生自然而然想到证明等式的证明思路，让学生了解利用（）“多米诺骨牌”原理证明等式。

设计意图：通过类比“多米诺骨牌”原理，启发学生得到证明关于-1+3-5+（）的思路。第一步是证明条件（1）；第二步是假设n=k+（1）-n(2n-1)=（1）-nn（）（）时等式成立，再证明当n=k+1时也成立。

（）（）证明：（1）当n=1时，式左右两边都等于-1，即这时等式成立。

（）（2）假设当n=k（k1）时等式成立，即-1+3-5+立 ，

则当n=k+1时，左边=-1+3-5++（1）-k(2k-1)=（1）-kk成+（1）-k(2k-1)+（1）-k+12(k+1)-1

=（1）-kk（1）-k+12(k+1)-1

（1）-k+1(k2(k+1)-1)（1）-(k+1)=右边k+1

（）所以n=k+1时等式也成立，

由（1）（2）可知，-1+3-5+

师生活动：师生一起完成，教师注意引导如何证明第二步，并板书。

设计意图：按类比分析的思路对本节开始提出的问题进行证明，感受数学归纳法的步骤。

3 +（1）-n(2n-1)=（1）-nn（nN）成立。

3、

概念生成

事实上，上述等式-1+3-5++（1）-n(2n-1)=（1）-nn是一个与正整数n有关的命题，上述方法就是解决这类问题的方法——数学归纳法。

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；（2）假设n=k(kn0,kN)时命题成立，证明当n=k1时命题也成立法叫做数学归纳法。

数学归纳法用框图表示如下：

（1）证明当n取第一个值n

三、

知识应用

4、概念巩固提升

例1、用数学归纳法证明等式2+4+6+

0

学科只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方(n0N)（2）假设n=k(kn0,kN)时命题成立，证明当n=k1时命题也成立假设与递推时命题成立；奠基对所有的n(nN+,nn0)命题成立+2n=n（n+1），nN

师生活动：学生思考，自主做题，教师巡视，答疑，指导，学生通过多媒体展台展示解答过程并简要分析，教师点评。 设计意图：通过数学归纳法证明2+4+6++2n=n（n+1），nN，让学生熟悉用数学归纳法证明命题的步骤及格式以及体会第二步中递推关系，通过学生展示锻炼学生的表达能力。

变式1、甲同学猜想2+4+6+正确吗？

证明：假设当n=k,kN时，2+4+6++2n=n2+n+1，并用数学归纳法证明如下，请问该同学的结论+2k=k2+k+1成立，那么

当n=k+1时，2+4+6+2+2k+2(k+1)=k2k12k2(k+1)

(k1)1，即n=k+1时等式成立，

所以等式对所有正整数都成立。

4

学生分析：该同学结论不对，因为该同学没有验证n1时，事实上猜想2+4+6++2n=n2+n+1对n1不成立。

教师概念剖析1：第一步是递推的基础，缺少了第一步，就会成为无水之源，

不要认为第一步是一个简单的验证，可有可无。递推基础不可少！

师生活动：学生思考，自主学习，小组交流，教师提问，学生回答，教师点评，精讲。 设计意图：通过错题分析，进行概念剖析1，巩固第一步：递推基础不可少！实现概念提升。

变式2、乙同学用数学归纳法证明等式2+4+6++2n=n（n+1），nN，证明如下：

（1）当n=1时，左边=2=右边，等式成立；

2+4+6+（2）假设当n=k(k1,kN)

时，时，2+4+6++2k=k（k+1）成立，那么当n=k+1+2k+2(k+1)=2+2(k+1)(k1) =（2k+2）（k1） =（k+1）(k+2)，

22即当n=k+1时等式成立，由以上（1）（2）等式2+4+6+成立

乙同学的证明有问题吗？为什么？

+2n=n（n+1），nN学生分析：第二步证明不对，乙同学用的是等差数列前n项和公式证明，没有用到归纳假设。

教师概念剖析2：第二步证明n=k+1时，一定要用到n=k时这一归纳假设，否则不是数学归纳法证明，打破数学归纳法逻辑严密关系，推理无效。归纳假设要用到。

师生活动：学生思考，自主学习，小组交流，教师提问，学生回答，教师点评，精讲。 设计意图：通过错题分析，进行概念剖析2，巩固第二步归纳假设要用到，再次实现概念提升。

练习、用数学归纳法证明：123

教师概念剖析3：解题目标要明确，找到已知（n=k）和未知(n=k+1)的联系是关键；结论写明莫忘掉。

师生活动：学生思考，自主做题，教师巡视，答疑，指导，学生展示解答过程并简要分析，教师点评。

部分学生可能找不到变形整理式子的方向，原因是不会观察已知和未知式子的特征，找不到他们之间的联系，教师巡视时加以指导。最后，通过学生书写遗漏结论，提醒：结论写明莫忘掉。

5 222n2n(n1)(2n1)（nN）

6

设计意图：通过数学归纳法证明等式，让学生继续巩固用数学归纳法证明命题的步骤及格式，学生利用多媒体展台展示解答规范后，通过概念剖析3，再次实现概念提升：解题目标要明确，找到已知（n=k）和未知(n=k+1)的联系是关键。

四、课堂小结

应用：证明与正整数n有关的命题

步骤1：递推基础不可少

1、方法：数学归纳法

格式：

步骤2：归纳总结要用到，解题目标要明确

（完全归纳法）

结论：结论写明莫忘掉

核心思想：递推思想

2、思想：类比思想

递推思想：命题从第一个值开始从前往后自动递推，实现有限到无限的飞跃

师生活动：以教师提问，学生回答方式，进行总结。

设计意图：对本节课知识和方法进行回顾总结，再次加深对数学归纳法的理解。

五、布置作业

教材第50页习题4.1 第1—5

六、板书设计

数学归纳法

一、数学归纳法

（概念）

二、等式-1+3-5+

+（1）-n(2n-1)=（1）-nn（nN）的证明

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