一 数学归纳法教学设计一等奖

数学归纳法教学设计

宣汉县第二中学 袁永红

一、设计理念

在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探究、展示”（宣汉二中“51111”教学构架）的教学方式，“5”即各学科课堂教学始终围绕“大纲、课标、教材、课堂、学生”五个方面；“1”即根据学情、生情、科情，对教材进行适度取舍，进行一次精心的课堂问题创设；“1”即问题展示后，给学生一次自主探究的机会，自我学习；“1”即在学生自主学习后，全面进行一次“师生合作探究”，包括分组讨论、问题答案过程展示、相互质疑提问纠错、教师适时点拨；“1”即最后进行一次当堂检测过关.教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕数学归纳法的原理和实质这一中心问题。在这个过程中，通过层层提问的方法引导学生思考，从简到难逐步探求数学归纳法的实质，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念。

二、教材分析

本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和归纳推理的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

三、学情分析

学生已经学习了求数列通项，归纳推理等知识，认识到不完全归纳法的到底猜想有待证明。而且学生经过高中3个多学期的数学思维训练，在课堂上具有一定的学习能力和探索意识。但由于文科学生的基础薄弱，可以预见在探索过程中对数学归纳法的递推原理会存在疑难。 四、教学手段

多媒体教学和板书相结合。这符合教学论中的直观性原则和可接受性原则；激发了学习数学的兴趣，同时又节约了时间，让学生更多的进行思考和练习，符合新课程的要求。

五、教学目标：

1．

使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．

2．

掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．

3．

培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．

4．

通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．

【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析

【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解

【教学方法】“51111”教学方法

授课类型：新授课

六．教学过程

（一）引入新课，提出问题

（1）不完全归纳法：

今天早上，我曾疑惑，怎么宣汉二中只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？

（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）

（2）完全归纳法：

一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？

（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。）

注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。

结论：不完全归纳法→结论不可靠；

完全归纳法→结论可靠。

问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）

情境：（播放多米诺骨牌视频）

问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？

（二）自主学习，小组讨论

归纳法的定义和分类。完全归纳法和不完全归纳法

由有限个特殊事例归纳出来的结论可能不正确，一但错误，我们已建立的结论大厦必将倒塌，必须对其进行抢救性证明，如何证明这类有关正整数的命题呢？

探究—

1、.多媒体演示多米诺骨牌游戏。-反复改变条件播放，鼓励学生发现问题

2.学生分组探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件？

学生回答，共同总结：

（1）第一块要倒下;（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下; 当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。

探究二：学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法。（分组探讨，共同总结）

（1）n取第一个值n0(例如

n01)时命题成立; （2）假设 n=k(kN*,kn0)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。

满足这两个条件后，命题对一切nN*均成立。

（建立数学模型）——学生小组讨论，大胆发言，教师概括总结, 形成科学方法

（三）合作探究、教师点拨

例1、用数学归纳法证明：135…+(2n-1)=n2

合作探究证明：（1）当n1时，左边1，右边121，等式成立；

（2）假设当nk（k≥1,kN*）时，135…+(2k-1)=k2，那么：

135…+(2k-1)+(2k+1)=[12(k1)1](k1)

(k1)2，则当nk1时也成立。2根据（1）和（2），可知等式对任何nN*都成立。

教师点拨：①对例1，首先说明在利用数学归纳法证题时，当nk1时的证明必须利用nk的归纳假设， 例2、用数学归纳法证明求证：n35n(nN)能被6 整除. 合作探究证明：1. 当n1时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；

2. 假设nk时命题正确，即k35k能被6整除，

∴当nk1时，(k1)35(k1)(k33k23k1)(5k5)(k35k)

3k(k1)6，

∵两个连续的整数的乘积k(k1)是偶数，3k(k1)能被6整除，

(k35k)3k(k1)6能被6整除，即当nk1时命题也正确，

由1,2知命题时nN都正确. 即：当nk1时，等式成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何nN*都成立。

教师点拨：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。

例3、平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分. 教师分析要点：n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2. 证明：（学生合作证明）

（四）小结复习，当堂检测

1.小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 2.当堂检测（每题10分，总分30分，10分钟完成）

（1）

求证: (11)(1)(1（2）

用数学归纳法证明：

（Ⅰ）72n42n297能被264整除；

（Ⅱ）an1(a1)2n1能被a2a1整除（其中n，a为正整数）

（3）

是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 131)2n1（n∈N*）. 2n1

板书设计

数学归纳法

步骤：（1）

（2）

（3）

注意：（1）

（2）

例1. 例2. 例3.

小结

当堂检测

幻灯片

教学反思：

1. 2. 3.