探究与发现 子集的个数有多少优秀教案案例

《子集的个数有多少》教学设计

湖北省宜昌市三峡高级中学 屈俊浩

教学分析：

1.教学内容分析：本节课的内容是人教A版高中数学选修2-3第一章第一节课后探究与发现的内容。在本节课中我们通过研究n元集合的子集的个数，培养学生从具体事例的分析中得到规律性的猜想，再通过严格的数学推理获得一般结论的方法。

2.学情分析：本节课是高二下学期的学习内容，一方面该阶段的学生无论是在思想上还是在学习方法与学习能力上已比较成熟，具备一定的动手实践和运用电子白板等辅助教学工具的能力。另一方面，通过上一节课的学习，同学们已经学习了两个计数原理，能根据实际问题的特征，正确地区分“分类”与“分步”，能应用它们解决简单的实际问题。

教学目标： 1.通过列举法得到几个特殊集合的子集，利用归纳推理猜想一般性结论，培养学生的观察和归纳推理能力；

2.找到问题与两个计数原理和二进制的内在联系，使用恰当的方法给与证明；

教学重点：

1.归纳猜想关于集合子集的一般结论；

2.利用两个计数原理解决具体问题。

教学难点：

1.理解集合的子集与二进制数的一一对应关系；

2.培养学生先猜想后证明的数学研究方法。

教学实录：

一．复习旧知、导入新课：

复习两个计数原理的定义（请学生回答）。 生：分类加法计数原理——完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有Nmn种不同的方法。

分步乘法计数原理——完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法。

师：回答的很准确。你能辨析分类与分步的主要区别吗？

生：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以独立做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤

都完成才算做完这件事，

师：说的很到位，接下来根据这两个计数原理请同学们完成下面这个例题：

例：现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画。

（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？

（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？

生：（1）分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．

（2）分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．

（3）分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．

二.总结规律、猜想证明：

请同学们分小组用列举法写出集合{a1,a2}，{a1,a2,a3}，{a1,a2,a3,a4}的子集。用投影仪展示学生列举结果。

师：根据不同集合子集的个数，我们能归纳出什么规律，能大胆猜想一下吗？

生：{a1,a2}的子集有4个，{a1,a2,a3}的子集有8个，{a1,a2,a3,a4}的子集有16个。由归纳推理我猜想{a1,a2,,an}的不同子集有2个。

师：很好，这位同学提出了猜想，接下来我们想一想该怎样证明以上猜想呢？

师：对于集合{a1,a2,a3}，元素ai(i1,2,3)与各子集的关系只有两种：ai属于子集或ai不属于子集。这样，我们可以考虑用考察集合{a1,a2,a3}中的每一个元素属不属于某个子集的方法来得到一个子集。因为集合{a1,a2,a3}中有3个元素，所以要得到集合{a1,a2,a3}的一个子集S1，可以分三个步骤：第一步，考察元素a1是否在子集中，有2种可能（a1S1,a1S1）；第二步，考察元素a2是否在子集中，有2种可能（a2S1,a2S1）；第三步，考察元素a3是否在子集中，有2种可能（a3S1,a3S1）。只要完成这三个步骤，那么集合S1中元素就完全确定了。根据分步乘法计数原理，对于由3个元素组成的集合，共有22228个不同的子集。

师：请同学们仿照老师的方法在笔记本上对上面的猜想进行证明（用投影仪展示学生证明）。

3n

师：除了这种方法之外还有其他的方法来证明吗？

生：还可以用数学归纳法来证明？

师：能请你上来在白板上给大家展示一下吗？

教师强调数学归纳法的规范操作并对难点位置进行提示与指导。

师：我们还可以这样来思考解决这个问题。同学们还记得二进制的相关知识吗？

带领学生复习二进制化十进制的方法。

师：这里要完成的“一件事情”是“确定集合{a1,a2,a3}的一个子集”，为此，我们可以通过考察集合中的每一个元素是否在某个子集中的方式来产生一个子集。我们用“1”表示“是”，用“0”表示“否”，那么二进制数“100”就表示子集{a1}。用表格表示入下：

元素a1

元素a2

元素a3

对应的子集

0

0

0

0

1

1

1

1

师：上述过程实际上就是按照数字顺序列举8个三位的二进制数，即从表示0的二进制数000到表示7的二进制数111。通过这样有序的列举，我们不仅得到了8种不同的排法，而且可以做到“不重不漏”，更重要的是从中发现了一般规律：n元集合A的每一个子集对应于一个n位的二进制数，第i个位置上是“0”表示集合A的第i个元素不在相应的子集中，第i个位置上是“1”表示集合A的第i个元素在相应的子集中。这样，按照分步乘法计数原理可以得到，n位的二进制数000（表示0）到111（表示21）共有2个。于是n元集合A的子集共有2个。

师：请同学们利用今天所学的知识完成下面的例题：

例：数字235有多少个不同的正约数？

nnn0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1



{a3}

{a2}

{a2,a3}

{a1}

{a1,a2}

{a1,a3}

{a1,a2,a3}

生：数字30可以分解为我们可以仿照今天学习的方法，考察2、3、5这三个数在不在某个约数“里面”，结果只有“在”或“不在”两种情况，所以由分步乘法计数原理，不同的约数有2228个。

三．师生畅谈、课堂小结

师：通过本节课的学习，你觉得自己有什么收获？（感想、感悟等）

生：（1）这节课理解了n元素集合有2个不同的子集；

（2）了解到该结论与计数原理和二进制之间的紧密联系；

（3）同时还践行了先猜想后证明的数学研究过程。

师：同学们说的都很好！

数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。——高斯

板书设计： 子集的个数有多少

n两个计数原理的定义： 课堂小结： 分类与分步的区别：

n元素集合的不同子集有2n个 教学反思：

1.本节课是以学生为主体教师为主导，小组合作探究的方式来展开的。学生在整堂课中的主体地位，要求学生按照老师的引导明确研究的内容、方向、方法，并能保证学生自身的学习时间和思维空间．避免学生在自主探究过程中重结论，轻过程．

2.小组合作学习需要让每个小组组内要有充分的研究讨论时间，小组之间还要有充足的交流时间，同时还要留有一定的展示时间。但一节课只有四十分钟，不可能让每个小组都得以展示，也不可能使教师对每个小组的学习过程和效果进行跟踪与及时点评。

3.即使在同一个小组内的学生由于学习能力的高低差异也使得不能保证每个学生都充分的参与到学习的过程中来，甚至有个别小组出现从头到尾都是同一个学生唱独角戏的情况。

4.在本节课中，老师自始至终起到引导的作用，因此要求老师在课堂的各个环节适当的“放手”让学生去做．老师“放手”的前提是对教学内容的数学本质有较好的把握，做出合理的预设和问题链，从容面对学生的生成，并加以引导提升，才能更好的关注学习过程，把握课堂进程。

改进之处：

在上课的过程当中，充分利用多媒体等现代教学设备和工具，大大提高了教学效率。在使用这些工具的过程中也难免会遇到设备老化和个别仪器操作不熟练而引起不连贯、不畅通的问题，尤其是在使用投影仪时因为不好对焦导致课堂出现了一段尴尬的真空期。