复习参考题教学实录及点评

《二项式定理复习课》教学设计

一．教学设计动机

教学设计思路：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理清基本概念外，，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。

1.正用。

即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全必要的，例题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。

例1、求x2(23x)6的展开式中含x5的项. 33解：x2C62(3x)34320x5

例2、求(12x)5(13x)4展开式中前三项之和. 解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。

(12x)5(13x)4[152x10(2x)2][143x6(3x)2]

(110x40x2)(112x54x2)12x26x2。

展开式前三项之和为12x26x2. 例3、求(2x23x1)8展开式中x项. 解：若将(2x23x1)8化为(2x1)8(x1)8来确定展开式中x项，解法不甚合理，注意到2x2与x项无关，可转化为求(3x1)8展开式中x项，即7C8(3x)24x，解法较捷。本题较灵活，有助于提高学生转化能力。

2.会反用。

逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往

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不习惯，例题和习题可逐步加深。

1n12n2n1例4、求值(1)4nCn4Cn4Cn41；

12n (2)12Cn. 22Cn(2)nCn解：(1)原式即为(41)n的展开式，∴原式5n. (2)注意符号问题，原式(12)n(1)n. 例5、设函数f(x)15x10x210x35x4x5.求f(x)的反函数f1(x). 解：如果f(x)的表达式中第一项1改为-1，则为(1x)5的展开式. ∴f(x)(1x)52. 易得f1(x)15x2 (xR)

3、会变用。

不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。这一层次要求学生有－定的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。

例6、求(x212)3展开式中的常数项. 2x13)2]，其二变形为2x解：一般有两种变形方法，其一变形为[(x213(x)6.后者较简，其常数项即为第四项T4C620. x例7、设1xx2x3x16x17a0a1(x1)a2(x1)2a17(x1)17, 求a2. 解：为了比较系数，将左式变形为1[(x1)1][(x1)1]2[(x1)1]17.再展开之，展开式中(x1)2项的系数即为a2，012153a2C2C3C4C17C18816. 4、会设项。

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这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。

例8、(233)100的展开式中含有多少个有理项？

解：Tr1C2r100100r23,耍使其为有理数，即r3100rrn，m (n，m为23非负整数). 96 得r2(50n)，且r3m. ∴r是6的倍数,可取r0，6，12,，共17个. 例9、设(3xx)n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若th272，试求展开式中x2项的系数. 1312解：此题应先定n，令x1,得t4n.而h2n.4n2n272.得2n16，n4.

Tr1C(3x)r4134r(x)由12r4rr402得r4.x2项系数为C431

325、会取值。

二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住机遇进行这一基本思维方法的训练.

例10、求(x2y)(2xy)2(xy)3展开式中各项系数的和. 解：设原式a0x6a1x5ya2x4y2a6y6.令x1，y1，

得a0a1a2a6216. 在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题

例11、求(153xy)15展开式中所有无理系数之和. 解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系数着手。有理系数项为：(153x)153x15，(y)15y15.∴有理系数之和为3(1)2.令xy1，得展开式各项系数之和为(1531)15.∴展开式中所有无理系数

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之和为(1531)152. 例12、设(1xx2)na0a1xa2nx2n.求a0a2a4a2n的值. 解：令x1，得a0a1a2a2n3n.令x1，得a0a1a2a2n1. 两式相加得a0a2a4a2n3n1. 2在取值过程中，要培养学生观察能力

例13、设(12x)100a0a1(x1)a2(x1)2a100(x1)100. 求a1a3a5a99的值

解：令x2，得a0a1a2a1005100.令x0，得a0a1a2a1001. 51001两式相减，得a1a3a99. 26、会构造。

关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展开式的系数而得。这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题和习题不宜太难，讲解中应慢慢引导，启发学生思维。

例14、证明下列各式

n1n12(1)13Cn3nCn4n. 9Cn3n1Cn021222n2n(2)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n. 0n1n12n22nn证：(1)构造二项展开式

(ab)nCnaCnabCnabCnb. 12n令a1，b3得

(13)n1Cn3Cn32Cn3n

12n1n即13Cn9Cn3n1Cn3nCn4n.

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(2)构造恒等式

(1x)n(1x)n(1x)2n. 0n1n12n2 两边含xn项的系数相等，即CnCnCnCnCnCnn0nCnCnC2n

∵CnmCnnm，

0mn

021222nnn∴(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n. 7、会综合。

在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其与数列、不等式和三角的综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。

例15、若实数x，y满足xy1，求证：x5y5121212121 16证：令x,y,则x5y5()5()5152154. 16216例16、已知等差数列{an}及等比数列{bn}中，a1b1，a2b2，且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当n2时，anbn

证：设

a1b1a，a2b2b, 则ana(n1)(ba), baban1ban1baba212bna()n1a()

a(1)a[1CnC()

1n1aaaaaban1ba)]a[1(n1)]a(n1)(ba)an

(aa利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例15）及“减项放缩法”（例16）较为普遍。

二．教案评析

通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方法。数学思想和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到了复习的实效。

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二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的推导、性质及应用。如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾向，仅仅要求学生熟记公式、会代公式而言。其实，二项式定理内容虽不多，但分散于教材及习题的解法却丰富地展示了待定系数法、构造法、取特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想方法，因此也是比较集中复习中学数学思想方法、提高思维能力的好机遇。在复习中，应认真做好基本方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行知识、方法和技巧的训练，才能真正掌握二项式定理。同时对学生思维发展、能力的培养和数学素质的提高也是十分有益的。

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