复习参考题教学内容分析

第二章

随机变量及其分布

一、选择题

1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：

ξ

0

1

51

1

52

1

103 P 则p的值为(

) 1111A. B. C. D.

2634p

12．已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(1≤X≤3)＝，则n的值为(

) 5A．3 B．5 C．10 D．15 13．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为3(

) 4242A. B. C. D.

9927274．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(

) 1111A. B. C. D.

912151815．已知随机变量X～B6，，则D(2X＋1)等于(

) 2A．6 B．4 C．3 D．9 236．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件34是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(

) 1511A. B. C. D.

21246127．设随机变量X～N(μ，σ)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0

) 21A.p B．1－p C．1－2p 21D.－p

28．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，437甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次．则三人中只有15510人及格的概率为(

)

A.34247 B. C. 20135250D．以上都不对

9．有10件产品，共中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的件数，则D(X)等于(

) 3111428A. B. C. D.

515157510．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．

(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；

(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)，则(

) A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p1

11．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．

12．在一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的均值是________．

13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：

3①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；

54②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；

3③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到2红球的概率为；

526④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 27其中所有正确结论的序号是________．

14．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．

三、解答题

15．(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．

(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？

(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？

16．(12分)一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球(所有的球除颜色外其他均相同)，从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取1得一个红球得2分，用随机变量ξ表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为. 6(1)求袋子内黑球的个数；

(2)求ξ的分布列与均值．

17．(12分)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽

车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R(单位：千米)可分为三类车型，A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选一款，乙从B，C两类车型中挑选一款，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：

车型

人

甲

乙

3若甲、乙都选C类车型的概率为. 10(1)求p，q的值．

(2)求甲、乙选择不同车型的概率．

(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：

车型

补贴金额(万元/辆)

A

3

B

4

C 5 A

1

5—

B

C p 1

4q

3

4记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．

18.(14分)某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是2，且每题正确完成与否互不影响，求：

3(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．

11111.[解析] 因为＋＋＋p＝1，所以p＝，故选A. 55102[答案] A 12.[解析] 由已知X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，所以P(1≤X≤3)＝P(X＝n311)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝，n＝15. n5[答案] D 112413.[解析] 连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为C3××1－＝. 393[答案] A 4.[解析] 总数为6＝216，满足要求的点为(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,3,5)，6×2＋61(2,4,6)，同时公差可以为负，故还需乘以2，还有6个常数列，故P＝＝. 21612[答案] B

113325.[解析] D(2X＋1)＝D(X)×2＝4D(X)，D(X)＝6××1－＝，∴D(2X＋1)＝4×＝6. 2222[答案] A

6.[解析] 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，事件B：乙实习生加工的零件为一等23品，则P(A)＝，P(B)＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(AB)＋P(AB)3423235＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×1－＋1－×＝. 341234[答案] B 17.[解析] 由正态曲线的对称性知P(X<1)＝，故μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称，21于是P(X<0)＝P(X>2)，所以P(02)＝－p. 2[答案] D

8.[解析] 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概74374374743率为：×1－×1－＋1－××1－＋1－×1－×＝. 551055105510250[答案] C 9.[解析] X的所有可能取值是0,1,2.

3

C77则P(X＝0)＝2＝，

C1015C7C37P(X＝1)＝2＝，

C1015C31P(X＝2)＝2＝. C1015∴X的分布列为

2112X P 0

7

151

7

152 1

157713于是E(X)＝0×＋1×＋2×＝，

151515532732732128∴D(X)＝0－×＋1－×＋2－×＝. 51551551575[答案] D 10.[解析] 解法一：(特值法)取m＝n＝3进行计算，比较即可．

解法二：(标准解法)从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，

则ξ的所有可能取值为0,1，

则P(ξ＝0)＝nm＋n＝P(ξ1＝1)，

P(ξ＝1)＝mm＋n＝P(ξ1＝2)，

所以E(ξ1)＝1×P(ξ1＝1)＋2×P(ξ1＝2)＝所以p1＝mm＋n＋1，

Eξ21＝2m＋n；

m＋n从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，

则η的所有可能取值为0,1,2，

Cn则P(η＝0)＝2＝P(ξ2＝1)，

Cm＋nCnCmP(η＝1)＝2＝P(ξ2＝2)，

Cm＋nCmP(η＝2)＝2＝P(ξ2＝3)，

Cm＋n所以E(ξ2)＝1×P(ξ2＝1)＋2×P(ξ2＝2)＋3×P(ξ2＝3)＝所以p2＝2m＋1，

m＋n2112Eξ32＝3m＋n，

m＋n

所以p1>p2，E(ξ1)

11111111131则P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝C2××＝，P(X＝4)＝×＝，P(X＝0)＝，∴33936966364PAC0.6＝＝0.75. PC0.8E(X)＝1×＋2×＋4×＝. 4[答案]

9C2C4313.[解析] ①恰有一个白球的概率P＝3＝，故①正确；②每次任取一球，取到红球次C65121919136492其方差为6×2×1－2＝4，数X～B6，，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第333324×32PAB3二次取到红球}，则P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故③错；④每36×55PA522326次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为1－1－＝，故④正确．

3327[答案] ①②④

1314.[解析] 解法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验44113331中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C2××＝，P(X＝2)＝16448429＝. 16所以在2次试验中成功次数X的分布列为

X P 0

1

161

3

82 9

161393则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 1681623解法二：此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)4

33＝np＝2×＝. 423[答案]

215.[解] (1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10. 1则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50

因此，此次参赛学生的总数约为526人．

1(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60

因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．

16[解] (1)设袋中黑球的个数为n，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为P(ξCn1＝0)＝2＝，

Cn＋56化简得n－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)，

即袋子中有4个黑球．

(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，

1∴P(ξ＝0)＝，

6C4C31P(ξ＝1)＝2＝，

C93C3＋C2C411P(ξ＝2)＝＝，

2C936C3C21P(ξ＝3)＝2＝，

C96C21P(ξ＝4)＝2＝，

C936∴ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

4 2112111122

P 1

61

311

361

61

3611111114∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 63366369

17.[解] (1)由题意可得1p＋q＋＝1，52p＝，5解得2q＝5.33q＝，410

120

(2)设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分甲选车型A，甲选车型B、乙选车型C，甲123213选车型C、乙选车型B三种情况，故P(A)＝＋×＋×＝. 5545453所以甲、乙选择不同车型的概率是. 5(3)X的所有可能取值为7,8,9,10. P(X＝7)＝×＝，

P(X＝8)＝×＋×＝，

P(X＝9)＝×＋×＝，

P(X＝10)＝×＝. 所以X的分布列为

2354310215423254513542115441154X P

7

1

208

1

49

2

510 3

1018.[解] (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，则ξ取值分别为1,2,3；η取值分别为0,1,2,3. C4C21C4C23C4C21∵P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝. C65C65C65122130

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

ξ

1

1

52

3

53 1

5P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. 15351523161280∵P(η＝0)＝C31－＝，P(η＝1)＝，P(η＝2)＝，P(η＝3)＝. 272727327∴考生乙正确完成题数的概率分布列为

η

0

1

2712278271

6

272

12

273 8

27P 127627E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 1312222(2)∵D(ξ)＝(2－1)×＋(2－2)×＋(2－3)×＝，

5555D(η)＝(2－0)2×2.或Dη316128222＋(2－1)×＋(2－2)×＋(2－3)×＝27272727212＝npq＝3××＝. 333∴D(ξ)

31128∵P(ξ≥2)＝＋＝0.8，P(η≥2)＝＋≈0.74，

552727∴P(ξ≥2)>P(η≥2)．

从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．