探究与发现 组合数的两个性质课时教案

1．2．1排列

教学目标：

知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题

情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.

教学重点：排列、排列数的概念

教学难点：排列数公式的推导

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

第一课时

一、复习引入：

1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有

Nm1m2mn种不同的方法

2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn

种不同的方法

分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事

应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制

二、讲解新课：

1问题：

问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素

解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．

图 1.2一1 把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3×2=6 种．

问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法

由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法

显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：

第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；

第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；

第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．

根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有

4×3×2=24 种不同的排法，

因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．

由此可写出所有的三位数： 123，124, 132, 134, 142, 143，

213，214, 231, 234, 241, 243，

312，314, 321, 324, 341, 342，

412，413, 421, 423, 431, 432 。

同样，问题 2 可以归结为：

从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有4×3×2=24种. 树形图如下

a b ｃ

ｄ

ｂ

ｃ

ｄ

ａ

ｃ

ｄ

ａ

ｂ

ｄ

ａ

ｂ

ｃ

2．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．．

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

3．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取m出m元素的排列数，用符号An表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）．．．．．m个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号An只表示排列数，而不表示具体的排列

4．排列数公式及其推导：

2由An的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1,a2,an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这2样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数An．由分步计数原理完成上2述填空共有n(n1)种填法，∴An=n(n1)

33由此，求An可以按依次填3个空位来考虑，∴An=n(n1)(n2)，

m求An以按依次填m个空位来考虑Ann(n1)(n2)m(nm1)，

排列数公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1)

（m,nN,mn）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列

n全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘）

另外，我们规定

0! =1 . 451813例1．用计算器计算： (1）A10； (2）A18; (3）A18A13.

解：用计算器可得：

51813由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，AAA181813．那么，这个结果有没有一般性呢？即

nAnn!. AnmAnm(nm)!mn排列数的另一个计算公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1) Annn(n1)(n2)(nm1)(nm)321n!=nm. (nm)(nm1)321(nm)!Anmm即 An=n!

(nm)!322例2．解方程：3Ax2Ax16Ax． 解：由排列数公式得：3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，

∵x3，∴

3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x17x100，

解得

x5或x22，∵x3，且xN，∴原方程的解为x5．

3xx2例3．解不等式：A96A9解：原不等式即．

9!9!6，

(9x)!(11x)!

也就是162，化简得：x21x1040，

(9x)!(11x)(10x)(9x)!解得x8或x13，又∵2x9，且xN，

所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7．

nmnm例4．求证：（1）An（2）AnAnm；(2n)!1352nn!(2n1)．

证明：（1）AnAnmmnmn!n，∴原式成立

(nm)!n!An(nm)!（2）(2n)!2n(2n1)(2n2)2nn!2nn!4321

2nn(n1)21(2n1)(2n3)2nn!31

n!13(2n3)(2n1)135n!(2n1)右边 ∴原式成立

m说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数An中，m,nN且mn这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；

m（2）公式Ann(n1)(n2)(nm1)常用来求值，特别是m,n均为已知时，公m式An=n!，常用来证明或化简

(nm)!例5．化简：⑴1232!3!4!n1；⑵11!22!33!n!nn!

⑴解：原式1!111112!2!3!3!4!1111

n!(n1)!n!⑵提示：由n1!n1n!nn!n!，得nn!n1!n!， 原式n1!1

说明：n111．

n!(n1)!n!巩固练习：书本20页１，２，３,4,5,6

课外作业：第27页

习题1.2

A组1 , 2 , 3,4,5 教学反思：

排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与

位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。