信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学实录与评析

2.4正态分布教学设计

临高中学数学组 杨亮

一、本节内容的数学本质与教学目标定位

本节的教学内容属于统计中的极其初步的知识，它主要是用来描述具有“中间高、两头低、左右对称”特征的一些连续性随机变量的统计规律。限于学生的数学知识基础，很多问题难以作出严密的推理论证，故在教学活动中只对正态总体及其分布的意义和性质作初步的介绍，着眼于突出正态分布、正态曲线等重要概念的实际意义，突出利用这些概念处理现实问题的基本思想方法和实际应用。因此，在教学过程中，应把握好突出实际应用，而对理论要求不必过于深究和拔高的原则。

二、教学目标：

知识目标： 1．利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．

2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．

(重点)

3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一特定区间的概率．(难点) 核心素养： 1.通过本节重点正态曲线解析式与相应图像剖析渗透数学抽象素养及数形结合的思想方法。 2.通过本节难点如何求某一区间概率提升学生数学运算及数据分析和数学建模的核心素养。

本节课尝试使用目标教学法：使学生学有目标，听有方向，在教师的引导下真正成为学习的主人。充分发挥他们的主体作用，使他们在学习讨论中获取知识，目标教学法更注重教学过程以及教学效果。是一种以教师为主导、以学生为主体、以教学目标为主线的教学方法，激励学生为实现教学目标而努力学习。

三、教学过程：

1.由介绍高尔顿和高尔顿板的动态视频引入课题：

弗朗西斯·高尔顿(1822－－1911)英国科学家和探险家，入选英国皇家学会，晚年受封为爵士。他的学术研究兴趣广泛，包括人类学、地理、数学、力学、气象学、心理学、统计学等方面。他是达尔文的表弟，关于人类官能的研究开辟了个体心理和心理测验研究的新途径。 2.由微课视频讲解新课：

e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为 22σ2πσ 参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

1）．正态曲线：若φμ，σ

(x)＝1x－μ2 2）．正态分布：如果对于任何实数a，b(a

变量X服从正态分布．

2正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ)．如果随机变量X服从正态分布，

则记为X～N(μ，σ)．

3）．正态曲线的特点（几何画板动态演示其效果）

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x轴之间的面积为1；

2(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越 大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

3.尝试解题（认识）：

21）．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ)，则P(X<2)等于(

)

1111A.

B. C. D.

54322）.若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？

3）.设两个正态分布N(μ1，σ1)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(

) 22A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2

4.变式提升（应用）

1).已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(

)

A．0.6

B．0.4

C．0.3

D．0.2 2).在同一坐标系中画出N（1，4）和N（－2，1）的图像。

5.深入剖析引发矛盾（再发现）

在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．

6.微课讲评难点：3σ原则

正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σ

P(μ－2σ

7.能力提升（再认识）：

1）．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X

(1)求c的值； (2)求P(－4

2）.某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随 机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？

8.素养提升（再应用）：

2 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,20)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．

9.总结（内化）： 知识－－－素养

10.研讨交流：

2 1).(山东高考）已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,3),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为

(

) 2附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ),则

P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.27% P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.45% A.4.56%

B.13.59%

C.27.18%

D.31.74% 2

2).高尔顿（钉）板与杨辉三角及二项分布的关系

从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。（在n＝3、4、5、…、k条件下）

(1)．计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑它与杨辉三角的关系）

(2)．计算小球落入各个格子的概率。（提示：考虑它与二项分布的关系）