二 用数学归纳法证明不等式国家获奖教案

教学设计

4.2用数学归纳法证明不等式举例》

一重五中

孙雪

1 《

4.2 用数学归纳法证明不等式举例

一重五中 孙雪

教学目标：

1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，

2、理解数学归纳法的操作步骤，

3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式. 教学难点：理解经典不等式的证明思路. 教学过程：

一、温故知新

1、证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法

数学思想：类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．

（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；

（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，

根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．

3、在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（4）有的试题需要先作等价变换。

二、应用举例：

例1 观察下面两个数列，从第几项起anbn？

证明你的结论

{ann2}:1,4,9,16,25,36,49,64,81,;{bn2}:2,4,8,16,32,64,128,256,512,.n

分析：试值n1,2,3,4,5,6

→

猜想结论

→

用数学归纳法证明

→

要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….

2

证明:1当n5时有5225,命题成立.

2假设当nkk5时命题成立,即有k22k.

2当nk1时.因为k1k22k1k22kkk23k

<222kk1222

所以k12k1,即nk1时命题成立.

2由12可知,n22nnN,n5.

小结反思：试值→猜想→证明

例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN). 分析:这是一个涉及正整数n的三角函数问题,又与绝对值有关,在证明递推关系时,应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式. 证明:1当n1时,上式左边|sin|右边,不等式成立.

2假设当nkk1时,不等式成立,即有|sink|k|sin|.

当n=k+1时，

|sink1||sinkcoscosksin|

|sinkcos||cosksin|

|sink||cos||cosk||sin|

|sink||sin|

k|sin||sin|

k1|sin|.

所以当nk1时不等式成立.

由12可知,不等式对一切正整数n均成立.

例3：证明贝努利不等式. (1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

分析：贝努力不等式中涉及到两个字母，

x表示大于-1且不等于0的任意实数，n是大于1的自然数，用数学归纳法只能对n进行归纳

证明:1当n2时,由于x0得1x12xx212x,不等式成立.

2

2假设当nkk2时不等式成立,即有1x1kx.

k

当nk1时,1xk1k1x1x1x1kx

1xkxkx21k1x.

.

所以当nk1时不等式成立.

立

由12可知,贝努利不等式成

小结反思：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.

3

1x缩小为简单的在数学研究中,人们经常用贝努利不等式把二项式的乘方1nx形式.这在数值n估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用.例如,当x是实数,且x1,x0时,由贝努利不等式不难得到不等式xnx对一切不小于2的正整数n成立.111x1x事实上,把贝努利不等式中的正整数n改为实数时,仍有类似不等式成立,它们是贝努利不等式更n一般的形式:当是实数,并满足1或者0时,有1x1xx1.

当是实数,并且满足01时,有1x1xx1.

使用数学归纳法证明不等式,难点往往出现在由nk时命题成立推出nk1时命题成立这一步.为完成这步证明,不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用问题的其他条件及相关知识,如前面学习的证明不等式的各种方法和一些重要不等式,注意发现或设法创设归纳假设与nk1时命题之间的关系,充分利用这样联系来证明nk1时命题成立.三、巩固练习：

巩固练习

1、已知对于任意正数a

1，a2，a3，有不等式：a

11a1，1

a1a21

a14，1a2

a1a2a311a11a2a9.3

(1)从上述不等式归纳出一个适合任意正数a1，a2，，an

的不等式.

(2)用数学归纳法证明你归纳得到的不等式.四、课堂小结：

1.数学归纳法证明不等式的步骤

2.适当的运用放缩，凑配等方法解决证明问题 五、布置作业：

教材P53-3、5.

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