信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响主要内容及教案内容

正态分布教学设计

陈晓君

1．教学内容解析

正态分布作为连续型随机变量，是对前面知识的一种拓展，也是必修3第3章概率知识的后续.该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用. 正态分布在现实生活中有非常广泛的应用.在这里学习正态分布，也有利于学生在大学阶段的进一步学习. 本节课的教学重点难点确定为：

（1）

正态密度曲线的特点，利用“3

原则”解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题

（2）

正态分布密度曲线的特点

(1)知识目标：

通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用“ 原则”解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题. （2）能力目标

通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力. （3）情感目标

①

通过经历直观动态的实验，提高学习数学的兴趣；

②

通过“3  原则”的学习，充分感受数学的对称美. 5．教学过程设计

教学环节

以境激情

教学内容

通过对高尔顿板试验进行演示。

师生互动

教师创设情境，为导入新知做准备。

学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考。

学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的。

设计意图

教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣。

1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律

⑴

将球槽编号，算出各个球槽内的

引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程。

通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入

研

探

论

证

小球个数，做出频率分布表。

⑵

以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图。

在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距。

教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？

学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率

教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标X是一个连续型随机变量。

教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程。

⑶

将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线。

新知搭桥铺路，形成正迁移。

通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解。

这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡。

通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程。

教学环节

教学内容

2．正态曲线：

曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线

师生互动

设计意图

与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源。

研

教师提出课题并板书：正态分布

是（或近似地是）下列函数的图像：

x2教师分析正态分布密度曲线表122e,x,, 达式的特点，并指出两个参数的

,x2其中是圆周率，e是自然对数的底，实际意义。

实数和（＞0）为参数。我们

称,x的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

与分别反映的是均值与标准差。

3．正态曲线对应的解析式中含有两个学生研探新知，并进行推理论参数和。下面结合函数解析式研证。

究曲线特点，并分析参数和对曲其中教师对学生进行学法指线的影响：

导，优化学生思维。

教师利用几何画板，先后固定

参数和，通过变化参数和

针对解析式中含有两个

探

⑴

固定的值，观察对图像的影响

论

证

的值得到一系列正态曲线，学参数，学生较难独立分生观察图像，分组讨论并派代表发言。

析，教师通过固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，这样的学生通过观察得到：当一定时，曲线随着的变化而沿x轴处理大大降低了难度。

平移；结合解析式分析知0时

它是个偶函数，于是参数决定

了正态曲线的对称轴，0时的

图像可由0时的图像平移得该环节教师利用多媒体到。（教师板书：曲线是单峰的，引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生它关于直线x对称）

的直观理解，也增强了同时得到：曲线在x时达到学生观察归纳的能力。

峰值1（教师板书）。

2

教学环节

教学内容

⑵

固定的值，观察对图像的影响

师生互动

学生通过观察并结合参数与的意义可以分析得到：当一设计意图

研

探

论

该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的定时，影响了曲线的形状。即：课程内容，很好地锻炼越小，偏离均值的程度越小，了学生观察归纳的能则曲线越瘦高；越大，偏离均力，体现了归纳分类、值的程度越大，则曲线越矮胖（教化难为易、数形结合的师板书）。

思想。

这样的处理很好地突

出了重点，突破了难点。

证

综合以上的图像并结合解析式分析得到：曲线位于x轴上方，与（教师板书）。

x轴不相交。最后引导学生由概率知识知：曲线与x轴之间的面积为1（教师板书）。

⑶

综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？

4．曲线与x轴之间的面积为1。根据对称性知，随机变量X落在对称轴x两侧的概率都是12。请思考：对于任意一个随机变量X，如何求出落在给定区间a,b内的概率？

引导学生回忆得到：X落在区间a,b的概率的近似值其实就是在a,b上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数x在区间a,b上的定积分。即：

Pa＜Xbba,xdx

a

这为接下来提出问题，引入正态分布的定义做铺垫。

y 通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解。

O 教学环节

bx

教学内容

5．

正态分布概念：

一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足

师生互动

教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。

引导学生分析得到，X所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率。

设计意图

以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识。同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯。

研

探

论

Pa＜Xbba,xdx，则称X的分布为正态分布，常记作如果随机变量X服从正态N,2。分布，则记作X~N,2。

6．3原则

几何画板演示3原则：

引导学生分析，求定积分，通常需要求出原函数。根据现有知识，无法求,x原函数。得寻

P＜X0.6826

学生发现了所学知识无法解决的问题，从而引起了他们的疑问，激发求别的方法求概率。

了他们要解决问题的欲

望，变“要我学”为“我教师通过利用几何画板演示随要学”。

机变量X落在区间

,,

2,2]与

新知识的直接给出，学3,3]这三个区间内生接受或多或少会有点的概率，引入3原则的内容，并困难。教师利用几何画指出：在3,3区间以板，从数与形上体现了外取值的概率只有0.0026，通常能很好认为这种情况在一次试验中几乎3原则的内容，

证

P2＜X20.9544

不可能发生。

所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取

3,3之间的值，简称3原则。我们可以利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题。

(教师板书3原则的内容)

加深学生的印象便于理解。

这为后面3原则的应用作了铺垫。

P3＜X30.9974

教学环节

教学内容

例题1 把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b，下列说法不正确的是（

）

A．曲线b仍然是正态曲线

B．曲线a和b的最高点的纵坐标相等

C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的期望比以曲线a为正态分布的总体的期望大2 师生互动

学生独立分析，并学生间互问互检，质疑答辩。教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知识。

学生易分析知：正态曲线a经过平移仍是正态曲线，峰值不变。而曲线的左右平移与即均值设计意图

通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数与的

反

馈

矫

正

（期望）有关。故C选项的说法理解。

不正确。

学生相互讨论，根据对称轴可通过一个贴近生活的实例题2 某地区数学考试的成绩X服知从正态分布，其密度函数曲线如下图：

60，根据峰值可知8，例，学生体会到了数学代入正态曲线表达式可得：

在实际问题中的应用，y x60211

由培养学生应用所学知识,xe1288282解决问题的能力，激发60,8知：

学习热情。

P52＜X68

本例是由课本74页练P＜X

x 习2进行变式处理，做

20

40

60

80100 0.6826

O

到了一题多用。

P60＜X68

①

写出X的分布密度函数；

该环节设置的②③④这1三个小问，分别要求学P52＜X68

②

求成绩X位于区间52,68的概2生根据3原则直接求0.3413

率是多少？

③

求成绩X位于区间60,68的概率是多少？

④

若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？

例3 设正态总体落在区间,1和区间3,内的概率相等，落在区间PX＞76PX＜4411P44X762110.95440.0228

2出对称区间概率，利用对称性及结合概率为1，求不对称区间的概率。体现了数形结合的思想，同时问题的设置由易到难，形成坡度。

学生分析易知：落在,1和3,内概率相等知1,由区间2,4概率为99.74%，知134,132, 即1，代入正态分布密度函数解析式知最高点的坐标为2,4内的概率为99.74%，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标。

教学环节

11,. 2

要求学生能根据题意画出草图，分析已有条件得到两个参数的解，利用解析式求出结果。再一次强化了数形结合的解题思想。

教学内容

1．

正态曲线有哪些具体的特点？

2．3原则是什么？它对、取任师生互动

教师引导学生进行课堂小结，自我评价。

学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨。将课堂小结作为自我评价的主阵地。

教师结合例子对正态分布进行介绍。

设计意图

通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与自我评价。教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方法。

通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用。

学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足。

何数，数据落到相对区间内的概率是应不变的吗？

用

评3．思想方法：数形结合等。

价

4．生活中的正态分布

A组

课本75页

A组

第1题

B组

第2题

学生通过作业进行课外反思，

通过思考发散思维，发现创新。

全体

思B组

在某校举行的数学竞赛中，教师通过布置作业，进行自我维参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分创布N70,100，已知成绩在90分以上评价，更新教法。

新

（含90分）的学生有12名。试问此次参赛的学生总数约有多少人？

课外思考：请尝试从解析式角度分析正态曲线的对称性与最值。

板书设计

正态分布

1．

解析式

2．

曲线性质

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

3．3原则

例1．

例2 ①

②

③

④

例3

多媒体投影