2.基本不等式课堂实录【2】

课 题：

基本不等式

教学目标：

1、了解两个正数的算术平均数与几何平均数。

2、理解定理1和定理2(基本不等式)。

3、掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题。

教学重点：定理1和定理2的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

教学过程： 一、知识学习：

定理1：如果a、b∈R，那么a＋b

≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

证明：a＋b－2ab＝（a－b）

当a≠b时，（a－b）＞0，当a＝b时，（a－b）＝0 所以，（a－b）≥0 即a＋b

≥2ab

由上面的结论，我们又可得到

定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么

号）

证明：∵（a

）＋（b

）≥2ab ∴a＋b≥2ab

，即

222 2 222 2 22 2 2a

＋b2

≥ab

（当且仅当a＝b时取“＝”

a

＋b22

≥ab

＝ab 显然，当且仅当a＝b时，说明：1）我们称a

＋ba

＋b2

为a，b的算术平均数，称ab

为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a＋b≥2ab和

2

2a

＋b2

≥ab

成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解：

a2b2c2abc

例1 已知a，b，c都是正数，求证：bca

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明：a0,b0,c0

a2a2 b2b2a

bbb2c2c2b;a2c

同理：caa2b2c2(bca)2(abc)

三式相加得：bcaa2b2c2abc

bca小结：利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即：

(1)各项或各因式为正；

(2)和或积为定值；

(3)各项或各因式能取得相等的值

（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P

； 12（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值

S

4证明：因为x，y都是正数，所以

（1）积xy为定值P时，有x＋y2

≥xy x＋y2

≥P ∴x＋y≥2P 上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2P . S1 2 （2）和x＋y为定值S时，有xy

≤ ∴xy≤

S241 2上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xy有最大值

S. 4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在。

例2 求证：

（1）在所有周长相等的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相等的矩形中，正方形的周长最短。

解：设矩形的长为x，宽为y （1）设矩形的周长为l，即2x+2y=l为定值。

根据基本不等式 可得：x＋y2

≥xy lxy

4l2 于是矩形的面积xy

16 当且仅当x=y时取等号

l2 即当且仅当矩形为正方形时，面积有最大值

16（2）设矩形面积为定值S，即xy=S为定值。

根据基本不等式x＋y2

≥xy 矩形的周长2(xy)4xy4S

当且仅当x=y时取等号

即当且仅当矩形为正方形时，周长2（x+y）有最小值4S

已知x，y都是正数，x+y=S，xy=P，则

（1）如果P是定值，那么当x＝y时，和S有最小值2P

； S2（2）如果S是定值，那么当x＝y时，积P有最大值

4例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m，如果池底每1m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

223l＝240000＋720（x＋1600

）≥240000＋720×2xx·1600 x＝240000＋720×2×40＝297600

1600当x＝

，即x＝40时，l有最小值297600 x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 三、课堂练习：课本P91练习1，2，3，4. 四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

五、课后作业：

六、教学反思：