2.1.2 演绎推理教案2

2.1.2

演绎推理

[学习目标]

1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

知识点一

演绎推理及其一般模式——“三段论”

1.演绎推理

含义

特点

2.三段论

大前提

小前提

结论

一般模式

已知的一般原理

所研究的特殊情况

根据一般原理，对特殊情况做出的判断

常用格式

M是P

S是M

S是P

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理

由一般到特殊的推理

思考

(1)演绎推理的结论一定正确吗？

(2)如何分清大前提、小前提和结论？

答案

(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确. (2)在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义. 知识点二

演绎推理与合情推理的区别与联系

合理推理

根据已有的事实和正确的结定义

论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程

思维方法

归纳、类比

由部分到整体、由个别到一演绎推理

根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程

三段论

区别

推理形式

般的推理或由特殊到特殊的推理

结论

结论不一定正确，有待于进一步证明

具有猜测和发现结论，探索作用

和提供思路的作用，利于创新意识的培养

由一般到特殊的推理

在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确

按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高逻辑证明的能力

联系

合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明

题型一

用三段论的形式表示演绎推理

例1

把下列演绎推理写成三段论的形式. (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；

(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；

(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数. 解

(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提

在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提

水会沸腾.结论

(2)一切奇数都不能被2整除，大前提

2100＋1是奇数，小前提

2100＋1不能被2整除.结论

(3)三角函数都是周期函数，大前提

y＝tan α是三角函数，小前提

y＝tan α是周期函数.结论

反思与感悟

三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的. 跟踪训练1

将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)0.332是有理数；

(2)y＝cos x(x∈R)是周期函数；

(3)Rt△ABC的内角和为180°. 解

(1)有限小数是有理数(大前提)，0.332是有限小数(小前提)，0.332是有理数(结论). (2)三角函数是周期函数(大前提)，函数y＝cos x(x∈R)是三角函数(小前提)，函数y＝cos x(x∈R)是周期函数(结论). (3)三角形内角和是180°(大前提)，Rt△ABC是三角形(小前提)，Rt△ABC的内角和为180°(结论). 题型二

演绎推理在证明数学问题中的应用

例2

在锐角三角形中，求证sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C. π证明

∵在锐角三角形中，A＋B＞，

2πππ∴A＞－B，∴0＜－B＜A＜. 222π0，内，正弦函数是单调递增函数，

又∵在2π－B＝cos B，

∴sin A＞sin2即sin A＞cos B，①

同理sin B＞cos C，②

sin C＞cos A.③

以上①②③两端分别相加，有：

sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C. 反思与感悟

(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略. (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提. 111跟踪训练2

(1)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证＋＋≥8. abab2x－1(2)求证：函数f(x)＝x是定义域上的增函数. 2＋1证明

(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

∴1＝a＋b≥2ab，

即ab≤12，

∴1ab≥4，

∴1a＋1b＋1ab＝(a＋b)11a＋b＋1ab

≥2ab·21ab＋1ab≥4＋4＝8. 当且仅当a＝b＝12时等号成立，

∴1a＋11b＋ab≥8. (2)函数定义域为R. 任取x1，x2∈R且x1＜x2. 则f(x1)－f(x2)＝112x1+1122x21

2112x12x22x212x1122x12

2x11x1＜xx2,21＜2x2,2x12x2＜0,

∴f(x1)－f(x2)＜0. ∴f(x1)＜f(x2).故f(x)为R上的增函数. 题型三

合情推理、演绎推理的综合应用

例3

如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影. (1)求证：O为△BCD的垂心；

(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明. (1)证明

∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，

∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC. ∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，

∵AD∩AO＝A，

∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，

∴O为△BCD的垂心.

(2)解

猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S2△BCD. 证明如下：连接DO并延长交BC于E，连接AE，

由(1)知AD⊥平面ABC，

AE⊂平面ABC，

∴AD⊥AE，又AO⊥ED，

∴AE2＝EO·ED，

111BC·BC·AE2＝BC·EO·ED，

∴222即S2S△BCD. △ABC＝S△BOC·同理可证：S2S△BCD，

△ACD＝S△COD·S2S△BCD. △ABD＝S△BOD·222∴S2(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S△△ABC＋S△ACD＋S△ABD＝S△BCD·BCD. 反思与感悟

合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下). n跟踪训练3

已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝a1a2…an(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论. 解

类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数a1＋a2＋…＋an列bn＝也是等差数列. n证明如下：

nn－1dna1＋2a1＋a2＋…＋and设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋(n－1)，

nn2d所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列. 2

三段论中因忽视大(小)前提致误

a3b3c3例4

已知a，b，c∈R，且a，b，c不全相等，试比较＋＋与a＋b＋c的大小. bccaab＋a＋b≥2ab，4422＋错解

因为a，b，c∈R，依基本不等式有b＋c≥2bc，c4＋a4≥2c2a2.4422

由三式相加得a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.①

又a2b2＋b2c2≥2a2b4c2＝2ab2c，

同理b2c2＋c2a2≥2abc2，

c2a2＋a2b2≥2a2bc，

三式相加得a2b2＋b2c2＋c2a2≥a2bc＋ab2c＋abc2.②

由①②得a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2，又a，b，c∈R，

＋a3b3c3所以＋＋≥a＋b＋c. bccaab错因分析

以上过程忽视了小前提“a，b，c不全相等”，因此①②两式中均为“＞”.

正解

∵a，b，c∈R，有

a＋b≥2ab，44b＋c≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2.4422＋

又a，b，c不全相等，故三式相加，得

a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.③

又a2b2＋b2c2≥2ab2c，

b2c2＋c2a2≥2abc2，

c2a2＋a2b2≥2a2bc，

且a，b，c不全相等，三式相加得

a2b2＋b2c2＋c2a2＞a2bc＋ab2c＋abc2，④

由③④得a4＋b4＋c4＞a2bc＋ab2c＋abc2，

∵a，b，c∈R，

a3b3c3∴＋＋＞a＋b＋c. bccaab防范措施

利用三段论推理时，正确使用大(小)前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形. ＋

1.下列推理中是演绎推理的是(

) A.全等三角形的对应角相等，如果△ABC≌△A′B′C′，则∠A＝∠A′

B.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人

C.由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质

11D.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋a(n≥2)，由此猜想出{an}的通项公式

2n－1

答案

A 解析

B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理.故选A. 2.指数函数都是增函数，……………………大前提

1x函数y＝e是指数函数，……………………小前提

1x所以函数y＝e是增函数. ……………………结论

上述推理错误的原因是(

) A.大前提不正确

B.小前提不正确

C.推理形式不正确

D.大、小前提都不正确

答案

A 解析

大前提错误.因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在a＞1时是增函数，而在0＜a＜1时为减函数.故选A. 3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的周期是________. 答案

8 解析

f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(2－2－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝f[4＋(4＋x)]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x).∴T＝8是它的周期. 318S2n84.设数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)，则满足＜＜217Sn7的所有n的和为________. 答案

7 解析

由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)，两式相减，得2an＋1－2an＋an＝0，化简得2an＋1an＋113a21＝an(n≥2)，即＝(n≥2)，由已知求出a2＝，

易得＝，所以数列{an}是首项为a1an24a1231n1－21n23112n，代入18＝，公比为q＝的等比数列，所以Sn＝＝31－2，S2n＝31－2221171－21n1S2n81＜＜，可得＜＜，解得n＝3或4，所以所有n的和为7. Sn717271115.设a，b，c为正实数，求证：3＋3＋3＋abc≥23. abc证明

因为a，b，c为正实数，由基本不等式可得

31111111113，当且仅当a＝b＝c时取等号. 3＋3＋3≥33·3·3，即3＋3＋3≥abcabcabcabc

1113所以3＋3＋3＋abc≥＋abc. abcabc而3＋abc≥2abc336·abc＝23，当且仅当＝abc，即a＝b＝c＝3时取等号. abcabc1116所以3＋3＋3＋abc≥23，当且仅当a＝b＝c＝3时取等号. abc

数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断——结论.在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.

一、选择题

1.下列表述正确的是(

) ①归纳推理是由部分到整体的推理；

②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；

④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③

B.②③④

C.②④⑤

D.①③⑤

答案

D 解析

根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确. 2.《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是(

) A.类比推理

C.演绎推理

答案

C 解析

这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次复式三段论，属演绎推理形式. 3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数.以上推理B.归纳推理

D.一次三段论

(

) A.结论正确

C.小前提不正确

答案

C 解析

由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数.故小前提不正确. 4.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于(

) A.演绎推理

C.合情推理

答案

A 解析

“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义. 5.有一个“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点.因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点.以上推理中(

) A.大前提错误

C.推理形式错误

答案

A 解析

可导函数在某点处的导数为0，不一定能得到函数的极值点，因此大前提错误. 6.已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α. 其中正确的命题个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

B 解析

①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确.故选B. 二、填空题

7.如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上的相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________. 答案

341 解析

边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为B.小前提错误

D.结论正确

B.类比推理

D.归纳推理

B.大前提不正确

D.全不正确

8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，……，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…8×9＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－27＋2×＝341，故所求总数2为341. 8.在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是________. 答案

y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞) 解析

由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4. 9.三段论式推理是演绎推理的主要形式，“函数f(x)＝2x＋5的图象是一条直线”这个推理所省略的大前提是________________. 答案

一次函数的图象是一条直线

x2＋110.关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列命题：

|x|①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)为减函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－11时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值. 其中所有正确结论的序号是________. 答案

①③④

解析

显然f(－x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称. x2＋11当x>0时，f(x)＝lg ＝lg(x＋). xx1设g(x)＝x＋，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

x∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数. f(x)min＝f(1)＝lg 2. ∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数. 三、解答题

11.设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根. 证明

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若Δ＝b2－4ac＞0，则方程有两个相异实根.(大前提) 方程x2－2mx＋m－1＝0中，Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝(2m－1)2＋3＞0，(小前提) 所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.(结论) 12.证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数，并指出证明过程中运用的“三段论”.

证明

已知函数f(x)，对于任意x1，x2∈D，若x1＜x2，均有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间D上

是增函数.(大前提) 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，

3332则f(x1)－f(x2)＝(x3(x21＋x1)－(x2＋x2)＝x1－x2＋(x1－x2)＝(x1－x2)·1＋x2＋x1x2＋1) 13. x1＋x22＋x2＋1＝(x1－x2)224∵x1＜x2，∴x1－x2＜0. 13x1＋x22＋x2又∵242＋1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0, 即f(x1)＜f(x2)，(小前提) ∴函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数.(结论) 13.S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC. 证明

如图，作AE⊥SB于E.

∵平面SAB⊥平面SBC，

平面SAB∩平面SBC＝SB，

AE⊂平面SAB. ∴AE⊥平面SBC. 又BC⊂平面SBC. ∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，

∴SA⊥BC. ∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，

∴BC⊥平面SAB. ∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.