2.基本不等式公开课参赛课教案

3.4第二课时

基本不等式的应用

一、课前准备

1．课时目标

（1）通过学习，进一步加深对基本不等式的理解，能灵活地用基本不等式解决有关问题。

（2）理解用不等式abab求最值的条件，并能求实际问题的最大值或最小值。

2

（3）通过本节的探究过程，培养学生观察、比较、分析、归纳等数学意识与解决问题的能力。

2. 基础预探

（1）不等式abab中的a,b的取值范围是_____，等号成立的条件是______。

22ab（2）不等式ab

中的a,b的取值范围是______，等号成立的条件是______。2

（3）可化为yaxb型的函数，当ab>0且x0,时可用基本不等式求最值，若xa>0,b>0,则当x_______时，ymin__。若a0,b0,则当x___时，ymax___。

（4）对于正数x,y，若xys,则xy有最____值是____，若xyp,则xy有最____值是______。

二、基本知识习题化

111．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的取值范围是(

) abA．(2，＋∞)

B．[2，＋∞)

C．(4，＋∞)

D．[4，＋∞) 112．已知正整数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值时，则实数对(a，b)是(

) abA．(5,10)

B．(6,6)

C．(10,5)

D．(7,2) 1，则函数yx(13x)的最大值是____

32x4．函数y2在x0时有最___值为____

x13．已知0x三、学习引领

1．基本不等式ab2aba,bR或22abab(a0,b0)具有将“和式”转化2为“积式”，以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能。

2. “和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值，应用此结论须注意以下三点：一正、二定、三相等。

3. 有关二元多项式的最值，由于涉及两个未知数，使得变形方向不够明朗。变形过程中应围绕可以应用已知条件中的“和或积为常数”来进行，常用凑的方法。另外，“1”的代换也

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是一种常用的方法。

4.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，ab2aba2b2例如：ab(),ab(a0,b0)等，同时还要注意不等式成222立的条件和等号成立的条件。

k形式的函数。这里t0，可以考虑应用均值不等式求解。围绕等t号成立的条件，发现使等号成立的条件与参数有关，针对k进行讨论，在等号不能成立时，5. 可以变形为yt则可考虑应用函数的单调性求解。

四．典例导析

题型一

函数方程与基本不等式

例1已知a0,b0,abab3，求ab的最小值。

思路导析：应用基本不等式可把条件ab转化为关于ab的不等关系，进而可求出ab的取值范围。

解析：a0,b0,abab32ab3,

ab22ab30,

ab3ab10,ab3或ab1（舍去）ab9等号成立的条件是ab且ab9即ab3时满足条件abab3，故ab的最小值为9. 规律总结：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值的常用方法，应熟练掌握。

变式训练1 ：已知正数a,b满足2ab3,求ab21的最大值。

22题型二

基本不等式的证明

例2. 如果ab,ab1,求证：a2b222ab

a2b222

思路导析：ab,ab0,若证ab22ab，只需证ab22a2b2a2b22ab2abab2ab解析：ab,ab0,ab1

ababab222

ab2ab22ababa2b222ab即a2b222ab

当且仅当ab2即ab2时取等号。

ab规律总结：在解答数学题的过程

中，把数值、整式合理地拆成两项或多项，或者恒等地配

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凑成适当的数或式，是数学表达式变形过程中常用的方法，这是一种解题技巧，要熟练运用这一技巧。

变式训练2：已知a,b,cR,abc1，求证：题型三

利用基本不等式求最值

1119

abcx27x10x1的最小值。

例3.求函数yx1思路导析：对于本题中的函数式，可把x1看成一个整体，然后把函数转化为用x1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用基本不等式来处理。

解析：

x27x10x15x144yx152x1x1x12x1459

x1当且仅当x14即x1时等号成立。

x1x1时，原函数取得最小值为9. 规律总结：利用均值不等式求最值时，要满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而可以求得最值。

变式训练3：

求函数yx2的最大值。

2x5题型四

基本不等式的实际应用

例4.围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为每米45元，新墙的造价为每米180元。设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形围墙的总费用为y（单位：元）。

（1）将y表示为x的函数。

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最小总费用。

思路导析：解决应用问题，关键是从实际问题抽象出数学问题，本题要先把y与x的函数式表示出来，然后结合基本不等式求出最值。

解析：（1）设矩形的另一边长为am，则

2y45x180(x2)1802a225x360a360

3603602360(x0)

由已知xa360,得a。所以，y225xxx36022225360210800

（2）x0,225xx

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3602360236010440.当且仅当225x

y225x时，等号成立。即x24m

xx时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。

规律总结：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）写出正确答案。

变式训练4：

过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：y920(0)．

231600（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

五．随堂练习

1.下列命题中正确的是

(

)

A.函数yx

B.函数y1的最小值为2 x2x23x2的最小值为2. 4x0的最大值为243。

x4

D. 函数y23xx0的最小值为243。

x

C.函数y23x12. 当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(

) x－1A．(－∞，2]

B．[2，＋∞)

C．[3，＋∞)

D．(－∞，3] 2ab3. 已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y

成等比数列，则

cd

的最小值是（

）

A. 0

B.1

C.2

D. 4

4. 设x0，则函数y(x5．设x,yR

且12)1在x=________时，有最小值__________

x191,则xy的最小值为________

xy6．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，12其中m，n＞0，求＋的最小值．

mn

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六．课后作业

1.已知x,y为正实数，且x4y1,则xy的最大值为（

）

A.1111

B.

C.

D.

4816322．某工厂第一年底的产量为P，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则有(

) a＋ba＋bA．x≥

B．x＝

22a＋ba＋bC．x≤

D．x＞

223.正数a,b满足ab1ab，则3a2b的最小值是______

4.若直线2axby20a,bR

平分圆x2y22x4y60，则

21的最小值是______

ab25.已知a0,b0,求a16的最小值。

b(ab)6.若不等式xax10对一切x0,成立，求a的最小值。

2213.4第二课时

答案：

一．答案：（1）(0,),ab（2）(0,),ab（3）s2

（4）大，。小，2p

41111ba）二．1．D解析：＋＝(a＋b（)＝2＋＋≥2＋2ababab号成立。

ba·＝4.当用仅当a＝b时等abbb，2ab。，2ab

aa114a＋b1b4a11b4a（））2．A解析：＋＝·＝（5，∵＋≥2 ab3030ababab当

b4a·＝4.当且仅ab

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b＝2ab4a＝即b＝2a时等号成立．由ab4a＋b＝30

a＝5⇒b＝10

.

3. 解析：

21113x(13x)10x,13x0.yx(13x)3x(13x),333212

当且仅当3x13x，即x4. 解析：x0,x11时，函数取得最大值。

61212x2,y2xx12x1x1,当且仅当x1即x1时取得最x大值为1。

四．变式训练1.解析:

ab212212312

2ab212a2b212224当且仅当2ab21且2ab3时等号成立。

22解得a21,b21,a1,b1时原式有最大值2。

变式训练2.解析：

111abcabcabcbacacb3

abcabcabacbc

32229。当且仅当abc

变式训练3. 解析：设t1时取等号。

3t2t21x20,从而xt22

y12t1t122t1tt0

当t0时，y0。当t0时，y2

4当且仅当2t1232,x时，y有最大值为，即t。

t224

变式训练4. 解：（Ⅰ）依题意，y920920920,

1600833(v)321600v

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当且仅当v

所以ymax（Ⅱ）由条件得1600,即v40时,上式等号成立,v

92011.1(千辆/小时).83920v10,

2v3v1600整理得v2－89v+1600<0, 即（v－25）（v－64）<0, 解得25

五．1. 解析：A选项中的x不一定大于0 。

B选项中yx23x22=(x22)1x22x221x222，等号取不到。

C．D选项中函数y23x

所以应该选C. 4x0=2(3x4)2212243。

xx11（x）2．解析：a≤x＋恒成立⇔a≤的最小值．

x－1x111∵x＋＝x－1＋＋1≥2x－1x－1答案：D

3. 解析：

2ababxy,cdxy1x－1·＋1＝3.∴a≤3.选D. x－1cd2xyxyx2y22xyx2y22xy

xyxyx2y2x2y2=

2,x0,y0,2224,当且仅当xy时取等号。xyxy所以应选D. 4. 解析：y(x1121)1=x221213，

当且仅当x22即x1

xxx

时原式取得最小值3. 5. 解析：xy(xy)(1x99xy)10102916

yyx6．解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，(－2)·m＋(－

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1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，n＞0，

1212n4m（）＋＝·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2mnmnmn12即＋的最小值为8。

mnn4m·＝8. mn1六．1. 解析：选C.x,y为正实数，xyx4y4x4y,

即x11,y时取等号。

2821x4y1，当且仅当42162 2．解析：依题意得，该工厂第二年的产量为P(1＋a)，第三年的产量为P(1＋a)(1＋b)．

又由于这两年的平均增长率为x，则P(1＋x)＝P(1＋a)(1＋b)．于是

（(1＋x)＝(1＋a)(1＋b)≤21a1b22＋a＋ba＋b），所以1＋x≤，即x≤.故选C. 222 3. 解析：ab1aba1(b1)2.3a2b53a12b1

5232a1b1543

4. 解析：直线平分圆，则必过圆心。圆的标准方程为x1y211

22

1,2在直线上2a2b20ab1.

2ba2ba21ab213322

ababab

所以，原式最小值是322。

a2bab

5. 解析:bab4

22

a21664a2226416.当且仅当bab,a464,ab0

baba

即a22,b22时原式取得最小值16. 111

6. 解析：xax10在x0,上恒成立，ax在x0,

x22

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上恒成立，又fxx

fx

11在x0,上单调递减，

x255,

则a

22

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