2.基本不等式教学设计模板

一堂数学课的教学设计

形如

|x-c|+|x-b|≥a 不等式的解法及应用

山西柳林联盛中学

李宝林

课题：形如

|x-c|+|x-b|≥a 不等式的解法及应用

一、内容和内容解析

1．内容：对本节内容的内涵和外延作简要说明. |x-c|+|x-b|≥a 的解法是数学选修《不等式选讲》三类含绝对值的不等式中的之一，是《考试大纲》中三个选考内容之一，是高考的考查热点. 2．内容解析：本节课时的教学重点是让学生熟练掌握此类型不等式的解法及数学思想方法（数形结合、等价转化、分类讨论、函数思想）. 教学难点是在准确理解绝对值概念的基础上如何脱掉绝对值符号化绝对值不等式为普通不等式求解. 二、目标和目标解析

1．目标：要求学生学会利用将绝对值不等式转化为普通不等式求解此类不等式的方法. 2．目标解析：经历、探究将绝对值不等式转化为普通不等式的思路，掌握求解此类不等式的通性通法，体验数学思想方法（数形结合、等价转化、分类讨论、函数思想）在解决数学问题中的神奇. 体验变式研究、反思性思维在数学学习中的指导作用。加强反思性思维训练，优化数学品质，提高学生的思维能力. 三、教学问题诊断分析

学生的认知基础分析. 学生对此类不等式的解法有思路，但方法不灵活、通性解法不明确、解题跳步、表述不完美、易失分。学生对通过改变维度、变更条件、探索新结论等变式研究不够，解题后不反思或反思不够. 对照教学目标在教学中引导学生利用数形结合、等价转化、分类讨论、函数思想，学会用数学思想方法解决数学问题. 指导学生养成解题后反思的习惯，体验变式研究在数学学习中的作用，从而举一反三、触类旁通，提高数学学习效果. 四、教学支持条件分析

采取自测、变式拓展帮助学生提升数学思维，使他们更好地发现规律，更有效地掌握方法. 课堂中学生的课堂演算材料、学生在课堂上参与教学活动的情态和学习行为都是有效的教学支持条件. 五、教学过程设计

知识回顾：

问题1：请同学们回忆绝对值的概念、性质、绝对值不等式的类型. 解释以下不等式的涵义. （1）、|x|，

|x-c|，|x-c|+|x-b|, |x-c|-|x-b|; (2)、|a ± b|≤|a|+|b|,

| a - b|≤| a - c |+|c-b| (说明取等条件)；

1

（3）、| a x+ b |≤c ，| a x+ b |≥c ，|x-c|±|x-b|≥a ，|x-c|-|x-b|≤a . 点评：（1）、从

‘数’‘形’两个角度解释. 比如：|x-c| 几何意义是：在数轴上表示数x的动点离表示数c的定点之间的距离. 代数解释为: 当

x﹤c 时，|x-c|= c- x；当x≥c 时，

| x- c | = x-c.

（2）、数形结合解释为：…

数缺形时少直观，形缺数时难入微. 基础自测：

问题2：解不等式

|x+2|+|x-3|≥6.

（学生解答）

预设学生解答1：

-----|- -

-|---

--|----→x

-2

0

3 预设学生解答2：函数y=|x+2|+|x-3|的图象与函数

y=6 图象的交点为（- 5/2, 6）、（7/2，

6）. 预设学生解答3：“x≦-2且

-2x+6≥6”

或

“-2＜x＜3且5≥6”或

“x≥3且2x-1≥6”

. 点评：（1）、规范学生的解答,解决跳不问题；

（2）、学生提供多种思路，有函数法、几何意义法、不等式法，渗透数形结合、等价转化、分类讨论、函数思想四种数学思想方法. 思维推展：

问题3：要使

|x+2|+|x-3|≥a恒成立，求a的取值范围.

Y 分析：此问题是问题2的变式，请同学解决，然后

展示学生的解题过程.

5

学生解法1：令f（x）=|x+2|+|x-3，

作出f（x）=|x+2|+|x-3的图象如右图

-2

0

3

X 则据f（x）的图象

知

f（x）的值域是

[5，+∞）

∴

f（x）≥a恒成立，必须有a≤5. 引导学生反思：解题后反思是对知识的回忆，是对方法的总结归纳，是对题目实质的再挖掘，是对解题活动的评价. 反思可提高数学解题的质量，培养解题能力. 数学教育家茀赖登塔尔就指出：反思是数学活动的核心和动力. （1）、思知识. 本题用到了不等式、绝对值、绝对值函数的图象、函数的值域等方面的知识. 题做完后通过回顾，在记忆的仓贮里检索一下这些知识. 遗忘是学***敌人，应经常回顾与之作斗争，更何况还能温故而知新呢！

（2）、思方法. 将不等式转化为函数值域问题，体现了不等式与函数的联系，是今后经常用的方法. 怎样求函数的值域，这里用画图象的方法，体现了数形结合的方思想. （3）、思多解. 学生解法2：考虑用绝对值不等式的性质解题. ∵

|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5，等号在x=0时取得，

∴

|x+2|+|x-3|≥a恒成立的充要条件是a≤5。

学生解法3：可考虑用绝对值的几何意义

-----|-

--|---

--|----→x

-2

0

3

2

由绝对值的几何意义，知|x+2|+|x-3|=|AC|+|BC| 让点C在数轴上移动，当点C在线段AB上时，|AC|+|BC|取最小值5，

故

|x+2| +|x-3| ≥5，从而

|x+2| + |x-3|≥

a 恒成立的充要条件是a≤5. （4）、思变式. 可改变维度、加强或减弱条件、变化条件或结论、探究新结论等方法研究题目的变式.同时思考能否用以上方法解决各个变试题. 变式1：（"+"变"-"）

已知

|x+2|-|x-3|≥a恒成立，求a的取值范围. 变式2：（"肯定"变"否定"）

已知

|x+2|-|x-3|＜a能成立，求a的取值范围. 变式3：（"两个"变"三个"）

已知

|x+6|+|x+2|+|x-3|≥a恒成立，求a的取值范围. 变式4：（改变绝对值前系数）已知

3|x+2|+2|x-3|≥a恒成立，求a的取值范围. 变式5：（"一元"变"二元"）已知

x、y∈R，不等式3|x+2|+2|Y-3|≥a恒成立，求a的取值范围. （5）、思得失. 从变式题看，此类题的通性解法是函数法。解题结束后，应当对解题活动进行回顾和总结. 想一想哪些地方进行得顺利，哪些地方遇到了困难，为什么在这些地方会感到困难，是知识不熟悉还是方法上生疏，后来是如何克服困难找到解题方法的，这次解题有哪些地方做得很成功值得今后借鉴，又有哪些地方出现了不该有的失误值得今后注意？最后别忘了自己给本次解题打个满意分. 反思对原来的解题过程从发散性、批判性、深刻性三个维度进行探索，把解题活动推向更全面、更深入的境界，使解题思维活动得以升华，收到"解一胜十"的效果. 解题不反思等于浪费时间. 巩固提升：

问题4：（2012年新课程高考第24题）已知函数f ( x ) = |x+a|+|x- 2|

(1)、当a=-3时，求不等式f ( x )≥3的解集；

（2）、若f ( x ) ≤|x- 4| 的解集包含[1，2〕，求a的取值范围.

解：（1）、

有三种解法得解集为（-∞，1〕∪〔4，+∞)

（2）、当x∈[1，2〕时，|x-4|-|x- 2|≧|x+a|成立，

即

4 - x -（2- x）≧|x+a|，也即

-2- a ≦x≦2- a 由条件得

-2- a ≦1且2+a≧2，即

-3≦a≦0

故满足条件的a的取值范围是a∈[-3,

0〕.

点评：1、高考选考题难度有所提升，这是新课标高考命题成熟的表现，今后选考题不会送分了. 2、此题以逆向思维的方式来考查此类不等式的解法. 还可以就此题研究几个变式题目. 变式1：已知函数f ( x ) = x |x-a| - 2

(1)、当a=1时，求不等式f ( x )＜0的解集；

（-∞，2）

（2）、当x∈[2，

3〕时，f ( x )＜0恒成立，求a的取值范围.

（7/3,

3）

变式2：已知函数f ( x ) = |2x-a|

(1)、若f ( x ) ≦x的解集为[1，

3〕，求a的取值范围；

（2）、在（1）的条件下，若函数

g（x）=1/(f ( x )+ f ( x+1 )+m) 的定义域为R，求m的取值范围.

变式3：已知函数f ( x ) = |x+a|

(1)、当a=-1时，求不等式f ( x )≥|x+1|+1的解集；

3

（2）、若不等式f ( x ) +f ( -x )＜2存在实数解，求a的取值范围.

变式4：（2013年新课程高考第24题）已知函数f ( x ) = |2x-1|+ |2x+a|，g ( x ) = x+3，

(1)、当a=-2时，求不等式f ( x )＜g ( x )的解集；

(0，

2)

（2）、若a>-1，且当x∈〔-a/2，1/2)时，f ( x )≦g ( x )成立，求a的取值范围. 〔-1，

4/3〕

课堂小结：

1、

此类不等式解法渗透四种数学思想方法，有三种解法，但函数法更具有通性通法. 2、数学学习中提倡反思性思维. 反思思维定势，巧设试误练习，加深对数学概念、定理、公式的质的理解. 反思思维过程，确定解题关键，寻找解决数学问题的最佳方案. 反思思维策略，研究变式，引导总结规律，掌握数学基本思想方法. 平时做题将做错的题归类整理在反思卡中，有利于总结解题的经验教训，快速提高解题的能力. 错

题

反

思

卡

错

题

题

号

选择题

填空题

解答题

1 1 1 错

误

原

因

说

明

思知识、多解、变式、得失、思维偏差

改

正

方

法

六、目标检测设计

检验课堂教学目标是否达成，需要一定的练习。值得强调的有两点，其一是对于每一个（组）习题或练习都要写明设计目的，以加强检测的针对性、有效性；其二是目标检测设计题，强调的是针对本节内容、符合本节教学目标的检测题组，并且是可以当堂完成的，能检测学生是否达到本节学习目标的. 1、设函数f ( x ) = |2x+1|-|x- 4|

(1)、解不等式f ( x )＞2；

k∈（-∞，-7）∪（5/3，+∞) （2）、求函数

y= f ( x ) 的最小值.

-9/2 2、对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a+b|-|a- b|≧|a|(|x-1|+|x- 2|)恒成立，求x的取值范围.

〔1/2 ,

5/2〕

3、已知函数f ( x ) = |x-a|+ |x+2| （a∈R）

(1)、当a=1时，求不等式f ( x )≦5的解集；

〔-3，

2〕

（2）、若存在x0∈R ，使得f ( x0 )≦5成立，求a的取值范围.

〔-7，

3〕

学生做题，教师巡回指点，最后展示学生解答并点评学生做题中的亮点及问题. 七、教学反思

1、作为教师，课后反思是以严谨的态度、科学的精神对已讲内容、所用教学策略有批判性的再思考，以求得新的深入的认识. 2、在数学教学中，教师要善于引导学生反思以下问题：

4

（1）、本题主要考察哪些知识点？这些知识点的掌握情况如何？还存在哪些问题？

（2）、本题的条件部分非常充分吗？如果去掉这个条件会怎样？

（3）、如何对本题的题设或结论进行适当变形后得到相应的正确命题？

（4）、解题思想和解题策略是否可以推广到一般情形？

（5）、解决问题后还有没有别的解法？有无更好的解法？

（6）、解题中运用了哪些数学思维方法？

通过这些提问，并给学生一点思维空间，学生一般会进入积极的反思性思维活动状态。学生的学习过程应是一种经常检查与反思的过程，通过回顾与检查，可以自我了解到学习上还存在的问题，对知识掌握的层次是否形成知识体系，解答问题的思想方法和策略是否清楚，发现学习上漏洞产生的原因，从而思考弥补知识和改进学习方法的途径. 教师在数学教学中应注重培养学生独立反思性思维习惯，有效地指导学生改进学习方法，提高学生参与意识，鼓励学生探索求异精神，确立学生在教学中的主体性地位，促进学生积极地参与反思性学习的实践活动. 八、作业布置

1、完成变式1----变式6. 2、解不等式

|x-2|-|X-3|≧

x2 -8X+15. 3、已知函数f ( x ) = |ax+1|(a∈R), 不等式f ( x ) ≤3的解集为｛x|-2≤x≤1｝. (1)、求a的值；

（2）、若| f ( x ) – 2f ( x/2 ) |≤k，求k的取值范围. 4、已知函数f ( x ) = |2x-1| ，X∈R (1)、不等式f ( x ) ≤a 的解集为｛x|0≤x≤1｝，求a的值；

（2）、若g ( x ) =1/ [f ( x ) +2f ( x+1 ) +m〕

的定义域为R，求m的取值范围.

5、若f(x)x11x22(x0). xx（1）求f(x)的最大值；

（2）若对任意的x，不等式f(x)|m1|m2恒成立，试求实数m的取值范围. 6、已知函数f(x)|x|2|x3|. （1）解关于x的不等式f(x)0；

（2）若关于x的不等式f(x)≤|m1||x3|恒成立，求实数m的取值范围. 7、已知函数f(x)|2x1||1x|．

（1）求不等式f(x)≥4的解集；

（2）若关于x的不等式f(x)

8、设函数f（x）=|x－a| +2x，其中a>0．

（I）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；

5

（Ⅱ）若x（-2，+∞）时，恒有f（x）>0，求a的取值范围．

答案：

2、[5-3，6〕

3、a=2，k∈[1, +∞)

4、a=1，m∈( -2, +∞) 5、（1）令tx212，则t≥2,则函数可以化为（，显然在t[2,+∞）上单调gt）=t2t2xt+2+t递减，故最大值为g(2)=2取值最大值22；

=2-2，当且仅当t2，即x1时，函数（fx）2+2+2（2）由条件只需|m1|m2＞22，即|m1|＞2m，即m1＞2m或

11（,+∞）.

m1＜m2，解之得m＞，即实数m的取值范围是226、（1）由f(x)0可得，|x|2|x3|0，

即|x|2|x3|，两边同时平方可得x24(x3)2，

即x28x120，解之得x2或x6.即原不等式的解集为(,2)（2）由f(x)≤|m1||x3|可得，|x|2|x3|≤|m1||x3|，

(6,). 即|x||x3|≤|m1|. 而|x||x3|≤|x(x3)|3，故3≤|x||x3|≤3，

故只需|m1|≥3，所以实数m的取值范围是(,2]7、（1）f(x)≥4，即|2x1||1x|≥4，

[4,). 11x≤-11

2212x+1+x≥412x1x≥42x11x≥4解得x≤2或x≥6，∴所解不等式的解集为{x|x≤-2或x≥6}. 2x x≤11（2）∵f(x)=3x 1

21x2 x≥2∴f(x)在(,)是减函数，在(,+)是增函数，（8分）∴fmin(x)f()=，

∵关于x的不等式f(x)a有解，∴afmin(x)=，∴实数a的取值范围是(,). 8、（Ⅰ）a3212121232322时，x22x2x1x21,x3或x1，

解集为,13,

a0当x2时f(x)xa2a，只需2a0即可，

3xa，xa（Ⅱ）f(x)xa,xa

a2

6

作者地址：山西省柳林县联盛中学

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