二 综合法与分析法多媒体教学设计及其点评

课题：第02课时

不等式的证明方法之二：综合法与分析法

教学目标：

1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。

2、了解分析法和综合法的思考过程。

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。

教学过程：

一、引入：

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由

于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证

的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

二、典型例题：

例1、已知a,b,c0，且不全相等。求证：

a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc 分析：用综合法。

例2、设a0,b0，求证a3b3a2bab2.

证法一 分析法

要证a3b3a2bab2成立. 只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，又因ab0，

只需证a2abb2ab成立，又需证a22abb20成立，

即需证(ab)20成立.而(ab)20显然成立. 由此命题得证。

证法二 综合法

(ab)20a22abb20a2abb2ab

注意到a0,b0，即ab0，

由上式即得(ab)(a2abb2)ab(ab)，从而a3b3a2bab2成立。

议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

ama. （1）例3、已知a，b，m都是正数，并且ab.求证：

bmb证法一 要证（1），只需证b(am)a(bm) （2）

要证（2），只需证bmam （3）

要证（3），只需证ba （4）

已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。

证法二 因为

ba,m是正数，所以bmam 两边同时加上ab得b(am)a(bm)两边同时除以正数b(bm)得（1）。

例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截2LL面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为2；周长为L的正222LLLL2方形为，截面积为。所以本题只需证明。

24424L证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为，截面222LLL2是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。

4L2L224为了证明上式成立，只需证明2。

1641414。

两边同乘以正数2，得：2。因此，只需证明24LLL上式显然成立，所以

。

24这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

例5、证明：a2b2c2abbcca。

证法一：

因为 a2b22ab （2）

b2c22bc （3）

c2a22ca （4）

所以三式相加得2(a2b2c2)2(abbcca) （5）

两边同时除以2即得（1）。

证法二：

a2b2c2(abbcca)111(ab)2(bc)2(ca)20,

222所以（1）成立。

例6、证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2. （1）

证明 （1）(a2b2)(c2d2)(acbd)20 （2）

（3）

a2c2b2c2a2d2b2d2(a2c22abcdb2d2)0

b2c2a2d22abcd0 （4）



(bcad)20 （5）



（5）显然成立。因此（1）成立。

例7、已知a,b,c都是正数，求证a3b3c33abc.并指出等号在什么时候成立？

分析：本题可以考虑利用因式分解公式

a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)着手。

证明： a3b3c33abc

=(abc)(a2b2c2abbcca)

1 =(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2].

2 由于a,b,c都是正数，所以abc0.而(ab)2(bc)2(ca)20，

可知a3b3c33abc0

即a3b3c33abc（等号在abc时成立）

探究：如果将不等式a3b3c33abc中的a3,b3,c3分别用a,b,c来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(1ab)(1bc)(1ca)27，其中a,b,c是互不相等的正数，且abc1. 三、课堂小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

四、课堂练习：

12.

x114.

2、已知x0,y0,xy,求证xyxy3、已知ab0,求证abab.

1、已知x0,求证：x4、已知a0,b0.求证：

（1）(ab)(a1b1)4.（2）

(ab)(a2b2)(a3b3)8a3b3.

5、已知a,b,c,d都是正数。求证：

abcd4abcdabcd.

abcd; （2）（1）426、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(abc)(abbcca)9abc.

五、课后作业：

课本25页第1、2、3、4题。

六、教学后记：