3.2.2 复数代数形式的乘除运算第二课时教案

复数代数形式的四则运算（教学设计）（2）

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

教学目标：

知识与技能目标：

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算。理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质

过程与方法目标：

理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观目标：

复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教学过程：

一、复习回顾，新课引入：

1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 4、复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

二、师生互动、新课讲解：

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

1

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例1（课本P58例2）计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2（课本P59例3）计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i)2.

解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25; (2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z的共轭复数为z。

4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者abi

cdi5.除法运算规则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cxdya,

dxcyb.acbdx,22cd

解这个方程组，得ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2

i. 222cdcdabi的分母有理化得：

cdi②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i. c2d2cd2c2d2∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3（课本P60例4）计算(12i)(34i)

2

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

22(34i)(34i)342555例4计算(14i)(1i)24i

34i解：(14i)(1i)24i143i24i7i(7i)(34i)

2234i34i3434i2143i28i2525i1i.

2525课堂练习：（课本P60练习NO：1；2；3）

三、课堂小结、巩固反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. abiacbdbcad22复数的除法法则是：i(c+di≠0). 2cdicdcd2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简

四、布置作业：

A组：

1、（课本P61习题3.2 A组：NO：4）

2、（课本P61习题3.2 A组：NO：5）

3、（课本P61习题3.2 B组：NO：1）

B组：

1.【2012高考安徽文1】复数z

满足(zi)i2i，则

z

=

（A）

1i

（B）

1i

（C）

13i

（D）12i

【答案】B 【解析】(zi)i2izi2i1i。

i－3+i2.【2012高考新课标文2】复数z＝的共轭复数是

2+i（A）2+i

（B）2－i

（C）－1+i

（D）－1－i 【答案】D 【解析】z3i(3i)(2i)55i1i，所以其共轭复数为z1i，选D. 2i(2i)(2i)53.【2012高考山东文1】若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为

3

(A)3+5i

(B)3－5i

(C)－3+5i

(D)－3－5i 【答案】A 【解析】z117i(117i)(2i)1525i35i.故选A. 2i(2i)(2i)53i= 1i4.【2012高考浙江文2】已知i是虚数单位，则A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】3i(3i)(1i)24i12i. 1i(1i)(1i)225.【2012高考上海文15】若12i是关于x的实系数方程xbxc0的一个复数根，则（

）

A、b2,c3

B、b2,c1

C、b2,c1

D、b2,c3

【答案】D 【解析】因为12i是实系数方程的一个复数根，所以12i也是方程的根，则12i12i2b，(12i)(12i)3c，所以解得b2，c3，选D. 6.【2012高考陕西文4】设a,bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数aA.充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】ab0a0或b0，而复数a故选B. 7.【2012高考辽宁文3】复数(A) b为纯虚数”的（

）

ibbabi是纯虚数a0且b0，ab0a是纯虚数，ii1

1i1111i (B)i (C) 1i (D) 1i

2222【答案】A 【解析】11i1i1i，故选A 1i(1i)(1i)222【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。

8.【2012高考江西文1】若复数z1i

（i为虚数单位) z是z的共轭复数

，

则z+z²的虚部为

A

0

B -1

C

1

D

-2

4 2

【答案】A 【解析】因为z1i，所以z1i，所以z2z(1i)2(1i)22i2i0，选A. 9.【2012高考湖南文2】复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是

A.-1-i

B.-1+i

C.1-i

D.1+i【答案】A

【解析】由z=i（i+1）=1i，及共轭复数定义得z1i. 2【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力.先把Z化成标准的abi(a,bR)形式，然后由共轭复数定义得出z1i. 10.【2012高考湖北文12】.若【答案】3 【解析】因为=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________. 3biabi，所以3biabi1iabbai.又因为a,b都为实数，故由复数的相等的充要1iab3,a0,条件得解得所以ab3. b3,bab,【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查. 11.【2012高考广东文1】设i为虚数单位，则复数34i

iA. 43i

B. 43i

C. 43i

D. 43i

【答案】D 【解析】法一：34i(34i)(i)43i. ii(i)34i(34i)i3i4i243i

法二：iii112.【2102高考福建文1】复数（2+i）2等于

A.3+4i

B.5+4i

C.3+2i

D.5+2i 【答案】A.

【解析】(2i)(41)(22)i34i，故选A. 13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数210i对应的点的坐标为

3iA．

(1 ,3)

B．(3,1)

C．(-1,3)

D．(3 ,-1) 【答案】A 【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

10i10i(3i)30i10i21030i13i，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A．

23i(3i)(3i)9i1014.【2012高考天津文科1】i是虚数单位，复数53i4i= （A）1-i

（B）-1+I

（C）1+I

（D）-1-i

5

【答案】C 【解析】复数53i4i(53i)(4i)(4i)(4i)1717i171i，选C. 15.【2012高考江苏3】（5分）设a，bR，abi117i12i（i为虚数单位），则ab的值为 ▲ ．

【答案】8。

【考点】复数的运算和复数的概念。

【分析】由abi117i117i117i12i1115i1412i得abi12i=12i12i=14=53i，所以a=5，b=3，ab=8

。

16.【2012高考上海文1】计算：3i1i

（i为虚数单位）

【答案】12i

【解析】复数3i(3i)(1i)24i1i(1i)(1i)212i。

a，bR）

6