二 用数学归纳法证明不等式教案推荐

科

学

趣

谈

数

学

归

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法

周

忠

堂

（甘肃省武威第一中学

甘肃武威

邮编733000）

数学归纳法在新课程人教版高中数学选修2—2及选修4—5都学数学归纳法及应用，而大学数学经常应用数学归纳法，那么高中怎样学好数学归纳法呢？我们一起认知一些现象做研究。

一：简单归纳产生“多米诺低效应”

首先认识下列特殊现象，在观察、实验之后我们共同认知研究；

情景1：话说古时有个非常有钱的财主让儿子到先生那儿学识字，先生教一是“一”横，二是“二”横，三是“三”横；三天后儿子死活不到先生那儿去学了。所以后来儿子闹出不会写“万百千”的笑话：

情景2：中国人过马路，红灯亮时，第一人走过去，第二个人跟着走过去，第三个人看着前两人过去也跟着走过去，这样一群人走过去啦，产生了“闯红灯效应”；

上述情景中一个人或一群人都是通过简单认知，作出归纳的情感反应，是一种不完全归纳思维方式，所以产生了简单的“多米诺低效应”；归纳就是从特殊的具体的认识推进到一般抽象的认识的一种思维方式。它具有依据特殊现象推断一般结论时超越性，具有依据若干已知的不完尽的现象推测未知现象时猜测性；还具有依据立足单个事实、特殊情况为基础，进行观察、实验，建立结论时探究性。虽然由简单归纳推理得到的结论未必正确，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能却是非常有用的，它是科学发现的一种常用的有效的思维方式。

二：简单归纳飞跃为数学归纳

情景3: 我们一起做“恶作剧”；把校园里并排等距放置的自行车撞倒的游戏实验，首先把第一辆推倒去撞第二辆，倒下第二辆恰撞倒第三辆，依次撞下去........，最后，不论有多少辆自行车，都能全部倒下。即发生了自行车倒下，“多米诺效应”

情景4：我们想想，小孩子识数，先学会数一个、二个、三个；过些时候能够数到十了，又过些时候，学会数到一百了，但后来，却决不是这样一段一段的增长，而是飞跃前进！到后来他领悟了，会自豪地说“我什么数都会数了”。

这是华罗庚在归纳法原本中谈到的，设想以下如果这个飞跃现象不出现，那么一个人一辈子象“愚公移山”只能学数数了，而且人生有限，数目无限，就是学一辈子，也决不会学

尽啊！解释这个飞跃现象的原理，正是数学归纳法，数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物，由简到繁，由有限到无限。

情景5 我们继续作数学实验：假设在一个装有若干个大小相同的球的袋子里摸球，当从袋子里摸出来的第一个是红玻璃球、第二个是红玻璃球、甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，这时我们心中肯定有一种猜想：“袋子里玻璃球全都是红玻璃球？”但我们在有一次摸出一个白玻璃球的时候，这时的猜想失败了；此时，我们会出现新的一个猜想“是不是袋子里全都是玻璃球？”，但是，我们再有一次摸出来的不是玻璃球的时候，我们的猜想又失败了，那时我们会出现第三个猜想：“是不是袋子里全都是球呢？”这个猜想对不对，只能把袋子里的球全摸出来，才能见分晓。袋子里的球是有限的，迟早总可以把它摸完，当袋子里是无限的时候，那我们怎么办？

这就是数学归纳法的引子，要证明上述问题，必须寻找一种用有限个步骤就能够处理完无限多个对象的办法；就是我们把一批有共性的数学命题编号，先证明第一号命题正确，把它做基础，在此基础上如果能够确认第k号命题正确的时候，紧接着能证明第k+1号命题也正确，那么就可确保这一批命题全部正确。

数学归纳法原理

证明一个与正整数n有关命题，我们可以这样进行：

1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立； 2）（归纳递推）假设nk(kn0

kN)时命题成立，证明nk1时命题也成立，

只要完成这两个步骤，就可断定命题从n0开始的所有正整数n都成立。这两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推，这两步缺一不可，没有第一步n取初值n0(n0N)时命题成立，就没有递推的出发点，递推就成为无源之水；正是确认了第二步的递推关系，才有从n0开始向后一个数一个数无限传递，实现从有限到无限的飞跃。

情景6：以我们学校在11月9日的“消防安全疏散演练”为例：当警报声响起的那一刻全体同学互相照应，能迅速作出反应（这就是奠基步），且快步奔向并到达安全出口（就是假定nk(kn0

kN)时命题成立），紧接着想方设法逃离安全口（递推nk1时正确）到达指定位置，安全疏散演练成功（即断定命题从n0开始的所有正整数n都成立）！

示例：

数学归纳法应用：选修4—5第51页例2的解法建议及改进

证明不等式 |sinn|n|sin|(nN)

证明：（1）（原文）当n1时，上式左边|sin|右边，不等式成立。（“=”是特例）

（建议增加）当n2时，不等式

左边=|sin2||2sincos|2|sin||cos|2|sin|=右边

仅当

cos1取“=”号（与当n1时取“=”显然不同）

当cos1时取“<”号（基础奠基步才能更稳妥）

（2）假设

nk

时不等式成立，即

|sink|k|sin|(kN)

则

当nk1时，|sin(k1)||sinkcoscosksin|

|sinkcos||cosksin|

|sink||cos||cosk||sin| |sink||sin|k|sin||sin|=(k1)|sin|.

所以nk1时不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。 所以建议：把选修2—2第93页数学归纳法原理中第一步仍修正为“证明当n取初值n0(n0N)时命题成立”；这样语义更完善。

三：数学归纳法创造“多米诺群效应”

情景7：雷锋一人做好事，影响着同班战友跟着做好事，这些战友又影响着好多群体跟着做好事，这些群体又影响着全体中国人；所以，***主席题词“向雷锋同志学习”。

数学归纳法是一种由特殊到一般的归纳上升为有限到无限的科学思维方法，不仅在生活生产中有广泛应用，更在科学发现和科学探究有着重要应用。

示例：高中数学教辅资料中问题：在各项均为正数的等比数列{an}中，数列的前n项和Sn

满足Sn11(an)。求a1,a2,a3的值；猜想数列{an}通项公式，并用数学归纳法2an证明你的猜想。

解： 由Sn11(an)对任何nN成立，所以可得a11

2an a2。。。。。。， 猜想annn1

21

，a332

， 数学归纳法证明：1）当n1时，a1101

显然成立。

2）假设nk时猜想成立，即akkk1正确，则

此产生“多米诺群效应”知

Ska1a2a3......akk

也正确，

所以nk1时

Sk1Skak111(ak1)

可得

2ak12 ak12kak110 则

ak1k1k。

综合1）2）可得，对任何nN都有annn1成立。

数学归纳法除上述数学群归纳法，还有第二数学归纳法（即数学归纳法的变形）

参考文献

1、华罗庚，数学归纳法，上海教育出版社，1964。5 2、王仲春

李元中

顾莉蕾

孙名符，数学思维与数学方法论，高等教育出版社 1990。8 3、普通高中课程标准实验教科书，选修2—2及选修4—5，人民教育出版社。2009。4