1.3 二项式定理（通用）优质课教案设计

教学设计

课题名称：1.3.1二项式定理

姓名：

学科年级：

一、教材分析：

【教材的地位及作用】“二项式定理”是人教A版全日制普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3第一章第1.3节第一课时，内容为二项式定理。它既是排列组合后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，另外它也是初中学习的多项式乘法。本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因为二项展开式与多项式乘法有密切的联系，运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如整除问题、近似计算、不等式的证明等。

因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。

【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。

二、教学目标

1.知识与技能：

通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观： 通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，培养学生的自主探究意识和合作精神，在体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的严谨、简洁美，感受数学内在的和谐、对称美．

三、学习者特征分析

包灵霄

高二数学

工作单位：

教材版本：

霍林郭勒市第三中学

人教A版

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式，

把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(ab)2为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．

四、教学过程

（一）提出问题，引入课题

引入：二项式为ab，二项式定理研究的是(ab)n的展开式，

当n2,3,4时,写出(ab)n的展开式

(ab)2 (ab)3 (ab)4 那么(ab)n的展开式是什么？

【设计意图：】由特殊的二项式来分析猜想一般的二项式展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神和创新精神。

（二）引导探究，发现规律

(ab)2展开式的再分析

探究1：不运算(ab)2，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：

(1) 合并同类项之前展开式有多少项？

(2) 展开式中有哪些不同的项？

(3) 各项的系数为多少？

探究2：仿照上述过程，你能否得出(ab)3、(ab)4的展开式？

【设计意图：】学生对各项是什么形式不难猜到，但对二项式系数不易想到，通过类比，联想到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从而猜想各项系数为组合数，让学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深体会到数学内在的和谐，对称美

(三) 形成定理，说理证明

探究3：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式．

0n1n12n22knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb———

二项式定理

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是annkbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)k中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

【设计意图：】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。

(四) 熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

1. 项数：共有n１项. 2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

012knk3. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数. knkk4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示. knkk即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cnab

5.项的系数：二项式系数与数字系数的积。

特殊情况（赋值）：

在二项式定理中,令a1,bx, 则有：(1x)n . 上式中，若令x1，则有：

. 【设计意图：】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。

概念辨析

思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）(ab)10的展开式中共有10项. （ ）

knkk（2）Cnab是(ab)展开式的第k项. （

）

n（3）(2a3b)的展开式的第3项与(3b2a)的展开式的第3项相同.（ ）

（4）(ab)与(ab)的展开式的二项式系数相同. （ ）

【设计意图：】①二项展开式中的字母a，b不能交换位置，虽然(ab)与(ba)结果相同，但nnnn66(ab)n与(ba)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的.

k②二项式系数Cn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关. （五）典例分析，灵活运用

例1 求(12x)7的展开式

思考1：展开式的第4项的系数是多少？

思考2：展开式的第4项的二项式系数是多少？

思考3：你能否直接求出展开式的第4项？

【设计意图：】例1是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母a,b所表示的数或式的领会及运用定理的能力；思考（1））（2），（3）二题着重于学生对通项公式的掌握，区别“系数”、“二项式系数”等概念

（六）巩固练习，夯实提升

1.

(x2)n的展开式共有12项，则n等于(

) A．9

B．10

C．11

D．8 2.

(x1)10展开式中的第6项的系数是 （ ）

6655A．C10

B．C10

C．C10

D．C10

【设计意图：】

通过巩固练习，有利于学生对知识的串联，累积，加工，使学生的思维有一个升华过程，从而达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解。

（七）布置作业

必做题

19x142.求(3x)的展开式中的常数项；

x31.求(x)的展开式中x的系数

选做题

1.求(1i)（i为虚数单位）的二项展开式中的第7项. 4. 求(x1)4的展开式中含x项的系数. 【设计意图：】通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。

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（八）课堂小结

1. 二项式定理的内容；

2. 掌握二项展开式的通项是解决问题的关键所在；[来源:学科网]

3. 正确区分二项式系数和系数.

【设计意图：】本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通过二项式定理的形成过程，学会了观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法，通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教师活动

提出问题，引入课题

预设学生活动

提出比较容易的问题，吸引学欲，明确本课要解决的生的注意力，组织教学

问题

引导学生运用计数原理来解决项数问引导探究，发现规律

用动画激发学生学习热情

征，为后续学习作准备. 通过仿照题，明确每一项的特设计意图

激发学生的求知(ab)3、(ab)4展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)的展

形成定理，说理证明

用图片激发学生学习情感

用动感文字引起学生注意

开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具n

有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

(四) 熟悉定理，简单应用

六、教学评价设计

1、能充分开发、组合和利用各种学习资源，扩展教育和学习空间

2、能突出学习信息单一化的局限。使学习形式多样化

3、能有效进行个别化教学，发挥学生主动性

4、能充分开发学生的右脑潜能

5、能克服教师自身条件的局限性，进而促进教学深化改革

七、教学课件

教学反思

本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：

1，本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎，归纳，得出定理。培养学生猜想，归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。

2，在例题，作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，如例4，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学，认识数学。

3，以学生为主体，让学生自己去探索，发现，再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解，主动探索的认识过程必须伴随着学生心理意志，情感，品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质，生命成长。

通过在线测试了解自己的不足，及时调整学习

熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．